Ta có \(1+\frac{a}{x}=1+\frac{x+y+z}{x}=\frac{2x+y+z}{x}\)

Áp dụng BĐT cosi \(x+x+y+z\ge4\sqrt[4]{x^2yz}\)

=> \(1+\frac{a}{x}\ge\frac{4\sqrt[4]{x^2yz}}{x}\)

Tương tự\(1+\frac{a}{y}\ge\frac{4\sqrt[4]{y^2xz}}{y}\); \(1+\frac{a}{z}\ge\frac{4\sqrt[4]{z^2yx}}{z}\)

=> \(Q\ge\frac{64.\sqrt[4]{x^4y^4z^4}}{xyz}=64\)

MinQ=64 khi \(x=y=z=\frac{a}{3}\)

Ta có

\(\hept{\begin{cases}\left(x+1\right)^2\ge0\\\left(y+1\right)^2\ge0\\\left(z+1\right)^2\ge0\end{cases}}\)và \(\hept{\begin{cases}x^2+1>0\\y^2+1>0\\z^2+1>0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow A=\frac{\left(x+1\right)^2\left(y+1\right)^2}{z^2+1}+\frac{\left(y+1\right)^2\left(z+1\right)^2}{x^2+1}+\frac{\left(z+1\right)^2\left(x+1\right)^2}{y^2+1}\ge0\)

Kết hợp với điều kiện ban đầu thì

GTNN của A là 0 đạt được khi 

\(\left(x,y,z\right)=\left(-1,-1,5;-1,5,-1;5,-1-1\right)\)

bài này cần x,y,z>0 nữa, vừa xem xong bài y hệt của LCC :v

Dự đoán dấu "=" khi \(x=y=z=1\) thì \(P=24\)

Ta chứng minh P=24 là GTNN

Thật vậy áp dụng BĐT C-S ta có:

\(P=Σ\frac{\left(x+1\right)^2\left(y+1\right)^2\left(z+1\right)^2}{\left(z^2+1\right)\left(x+y\right)^2}\ge\frac{\left(Σ\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(x+y\right)\right)^2}{Σ\left(z^2+1\right)\left(x+y\right)^2}\)

Cần chứng minh: \(\frac{\left(Σ\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(x+y\right)\right)^2}{Σ\left(z^2+1\right)\left(x+y\right)^2}\ge24\)

\(\Leftrightarrow\left(Σ\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(x+y\right)\right)^2\ge24Σ\left(z^2+1\right)\left(x+y\right)^2\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}x+y+z=3u\\xy+yz+xz=3v^2\\xyz=w^3\end{cases}}\) \(\Rightarrow u=1\) thì

\(Σ\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)=Σ\left(x^2y+x^2z+2x^2+2xy+2x\right)\)

\(=9uv^2-3w^3+2u\left(9u^2-6v^2\right)+9uv^2+6u^3=3\left(8u^3+uv^2-w^3\right)\)

Và  \(Σ\left(z^2+1\right)\left(x+y\right)^2=2Σ\left(x^2y^2+x^2yz+x^2u+xyu^2\right)\)

\(=2\left(9v^4-6uw^3+3uw^3+9u^4-6u^2v^2+3u^2v^2\right)\)

\(=6\left(3u^4-u^2v^2+3v^4-uw^3\right)\). Can cm \(f\left(w^3\right)\ge0\)

\(f\left(w^3\right)=\left(8u^3+uv^2-w^3\right)^2-16\left(3u^6-u^4v^2+3u^2v^4-u^3w^3\right)\)

\(f'\left(w^3\right)=-2\left(8u^3+uv^2-w^3\right)+16u^3=2w^3-2uv^2\le0\)

Thay \(f\) la ham` ngh!ch bien, do đó, BĐT có 1 GTLN của w³ khi 2 biến bằng nhau

Đặt \(y=x;z=3-2x\), Khi đó: 

\(BDT\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(x^4-2x^3-11x^2+24x+4\right)\ge0\)

Ta co:

\(A=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2+\left(z+\frac{1}{z}\right)^2\ge\frac{\left(x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}{3}\ge\frac{\left(1+\frac{9}{x+y+z}\right)^2}{3}=\frac{100}{3}\)

Dau '=' xay ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

Vay \(A_{min}=\frac{100}{3}\)khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

bạn vào trang này nhé có bài như thến này đấy 

//123doc.org//document/3173507-ren-luyen-chuyen-de-tim-maxmin-on-thi-thpt-quoc-gia.htm

tính diện tích hình vẽ dưới đây