Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:

\(VT=\dfrac{a}{b+2c+3d}+\dfrac{b}{c+2d+3a}+\dfrac{c}{d+2a+3b}+\dfrac{d}{a+2b+3c}\)

\(=\dfrac{a^2}{ab+2ac+3ad}+\dfrac{b^2}{bc+2bd+3ab}+\dfrac{c^2}{cd+2ac+3bc}+\dfrac{d^2}{ad+2bd+3cd}\)

\(\ge\dfrac{\left(a+b+c+d\right)^2}{4\left(ab+ad+bc+bd+ca+cd\right)}\ge\dfrac{\left(a+b+c+d\right)^2}{\dfrac{3}{2}\left(a+b+c+d\right)^2}=\dfrac{2}{3}\)

*Chứng minh \(4\left(ab+ad+bc+bd+ca+cd\right)\le\dfrac{3}{2}\left(a+b+c+d\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-d\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(b-d\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(c-d\right)^2\ge0\)

=4 nhé

nó bảo sai bạn ạ

chắc la sai ở chỗ nào rồi

dúng đó

Theo bài ra , ta có : 

\(3a+2b-c-d=1\)

\(2a+2b-c-2d=2\)

\(4a-2b-3c+d=3\)

\(8a+b-6c+d=4\)(1)

Cộng từng vế của 3 biểu thức đầu lại ta đk \(3a+2b-c-d+2a+2b-c-2d+4a-2b-3c+d=1+2+3\)

\(\Leftrightarrow9a+2b-5c+2d=6\)(2)

Trừ phương trình (2) cho phương trình (1) theo từng vế ta đk 

\(9a+2b-5c+2d-8a-b+6c-d=6-4=2\)

\(\Leftrightarrow a+b+c+d=2\)

Vậy \(a+b+c+d=2\)

Chúc bạn học tốt =)) 

=> (8a+b-6c+d)-(3a+2b-c-d)-(4a+2b-c+2d)-(4a-2b-3c+d)=4-3-2-1

<=>8a+b-6c+d-3a-2b+c+d-2a-2b+c-2d-4a+2b+3c-d=-2

<=>(8a-3a-2a-4a)+(b-2b-2b+2b)-(6c-c-c-3c)+(d+d-2d-d)=-2

-a-b-c-d=-2

-(a+b+c+d)=-2

=>a+b+c+d=2

Vậy a+b+c+d=2

2

Ta có:

3a+2b-c-d=1 (1)

2a+2b-c+2d=2 (2)

4a-2b-2c+d=3 (3)

8a+b-6c+d=4 (4)

(1)+(2)+(3)-(4) vế theo vế ta được:

a+b+c+d=1+2+3-4=2

Vâp a+b+c+d=2

Cộng vế vs vế của những đẳng thức đã cho

Từ hai phương trình đầu suy ra a+d = -1, hay d = -1 -a . Thế vào ba phương trình cuối ta được hệ phương trình ba ẩn:

                4a+2b-c =0; 3a - 2b - 3c = 4; 7a + a - 6c = 5.

Giải hệ này (chẳng hạn sử dụng máy tính cầm tay CASIO fx - 570 ) ta được 

                \(a=\frac{4}{37};b=-\frac{23}{37};c=-\frac{30}{37}\) suy ra  \(a=-1-\frac{4}{37}=-\frac{41}{37}\)

Từ đó    a + b + c + d = -90/37