Chứng minh rằng số \(\sqrt{n^2+n^2.\left(n+1\right)^2+\left(n+1\right)^2}\) là số nguyên nếu n là số nguyên
Những câu hỏi liên quan
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, p ta có :
\(\dfrac{1}{\left(1+1\right)\sqrt[p]{1}}+\dfrac{1}{\left(2+1\right)\sqrt[p]{2}}+...+\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt[p]{n}}\) < p
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, p ta có :
\(\dfrac{1}{\left(1+1\right)\sqrt[p]{1}}+\dfrac{1}{\left(2+1\right)\sqrt[p]{2}}+...+\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt[p]{n}}\) < p
Cho biểu thức \(f\left(x\right)=5^{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}}}\), với x>0. Biết rằng f(1).f(2)...f(2020) = \(5^{\dfrac{m}{n}}\) với m, n là các số nguyên dương và phân số m/n tối giản. Chứng minh m-n^2 = -1
\(\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}}=\sqrt{\dfrac{x^2+\left(x+1\right)^2+x^2\left(x+1\right)^2}{x^2\left(x+1\right)^2}}=\sqrt{\dfrac{x^2\left(x+1\right)^2+2x^2+2x+1}{x^2\left(x+1\right)^2}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{\left(x^2+x\right)^2+2\left(x^2+x\right)+1}{\left(x^2+x\right)^2}}=\sqrt{\dfrac{\left(x^2+x+1\right)^2}{\left(x^2+x\right)^2}}=\dfrac{x^2+x+1}{x^2+x}\)
\(=1+\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}\)
\(\Rightarrow f\left(1\right).f\left(2\right)...f\left(2020\right)=5^{1+1-\dfrac{1}{2}+1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+1+\dfrac{1}{2020}-\dfrac{1}{2021}}\)
\(=5^{2021-\dfrac{1}{2021}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{m}{n}=2021-\dfrac{1}{2021}=\dfrac{2021^2-1}{2021}\)
\(\Rightarrow m-n^2=2021^2-1-2021^2=-1\)
Đúng 2
Bình luận (0)
Chứng minh rằng :Nếu n là số nguyên dương thì :\(2\times\left(1^{2013}+2^{2013}+......+n^{2013}\right)\)) chia hết cho \(n\times\left(n+1\right)\)
Do 2013 là số lẻ nên \(\left(1^{2013}+2^{2013}+3^{2013}+....+n^{2013}\right)⋮\left(1+2+3+....+n\right)\)
Hay \(\left(1^{2013}+2^{2013}+3^{2013}+....+n^{2013}\right)⋮\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)
\(\Rightarrow2\left(1^{2013}+2^{2013}+3^{2013}+....+n^{2013}\right)⋮n\left(n+1\right)\) (đpcm)
Đúng 0
Bình luận (0)
Vì sao 2013 là số lẻ thì \(1^{2013}+2^{2013}+.....+n^{2013}⋮1+2+3+...+n\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Vì 20113 là số lẻ nên : \(\left(1^{2013}+2^{2013}+...+n^{2013}\right)⋮\left(1+2+..+n\right)\)
\(\Rightarrow\left(1^{2013}+2^{2013}+...+n^{2013}\right)⋮\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)
\(\Rightarrow2\left(1^{2013}+2^{2013}+...+n^{2013}\right)⋮n\left(n+1\right)\)
Vậy ta có đpcm.
Đúng 0
Bình luận (0)
Xem thêm câu trả lời
Chứng minh \(S_n=\left(5+2\sqrt{6}\right)^n+\left(5-2\sqrt{6}\right)^n\) là một số nguyên với mọi \(n\in N^{\cdot}\)
Cho n là số nguyên dương lớn hơn 1. Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{n!}< \left(2-\frac{1}{n}\right)\left(2-\frac{3}{n}\right)...\left(2-\frac{2n-1}{n}\right)\)
Chứng minh rằng \(\left[\left(2+\sqrt{3}\right)^n\right]\)là số lẻ mới mọi n thuộc Z biết rằng [x] là phần nguyên của x
Bài này tương tự bài 20.7 trong quyển Tài liệu chuyên toán THCS 9 tập 1 của ông Tôn thân ý
Dùng phương pháp quy nạp nhé
Đúng 0
Bình luận (0)
1. Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì \(\left(p-1\right)\left(p+1\right)⋮24\)
2. Tìm số nguyên n sao cho : \(n^2-2\)chia hết cho n+3
3 . Tìm số tự nhiên n ( n > 0 ) sao cho tổng :
1! +2!+3! + ... +n! là một số chính phương
CMR : Với n nguyên thì \(\sqrt{n^2+n^2\left(n+1\right)^2+\left(n+1\right)^2}\)là số nguyên
\(\sqrt{n^2+n^2\left(n+1\right)^2+\left(n+1\right)^2}\)
\(=\sqrt{n^2+\left(n^2+n\right)^2+\left(n^2+2n+1\right)}\)
\(=\sqrt{2\left(n^2+n\right)+\left(n^2+n\right)^2+1}\)
\(=\sqrt{\left(n^2+n+1\right)^2}=\left|n^2+n+1\right|=n^2+n+1\)
Suy ra đpcm