\(=>A=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x}+\dfrac{\sqrt{y-2}}{y}+\dfrac{\sqrt{z-3}}{z}\)

áp dụng BĐT AM-GM

\(=>\sqrt{x-1}\le\dfrac{x-1+1}{2}=\dfrac{x}{2}\)

\(=>\dfrac{\sqrt{x-1}}{x}\le\dfrac{\dfrac{x}{2}}{x}=\dfrac{1}{2}\left(1\right)\)

có \(\dfrac{\sqrt{y-2}}{y}=\dfrac{\sqrt{\left(y-2\right)2}}{\sqrt{2}.y}\)

\(=>\sqrt{\left(y-2\right)2}\le\dfrac{y-2+2}{2}=\dfrac{y}{2}\)

\(=>\dfrac{\sqrt{\left(y-2\right)2}}{\sqrt{2}.y}\le\dfrac{\dfrac{y}{2}}{\sqrt{2}.y}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(2\right)\)

tương tự \(=>\dfrac{\sqrt{z-3}}{z}\le\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\left(3\right)\)

(1)(2)(3)\(=>A\le\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}+\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\)

Ta có: \(P=\frac{\sqrt{yz}}{x+2\sqrt{yz}}+\frac{\sqrt{zx}}{y+2\sqrt{zx}}+\frac{\sqrt{xy}}{z+2\sqrt{xy}}=\frac{1}{\frac{x}{\sqrt{yz}}+2}+\frac{1}{\frac{y}{\sqrt{zx}}+2}+\frac{1}{\frac{z}{\sqrt{xy}}+2}\)

Đặt \(\frac{x}{\sqrt{yz}}=c,\frac{y}{\sqrt{zx}}=t;\frac{z}{\sqrt{xy}}=k\left(c,t,k>0\right)\)thì ctk = 1

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của \(P=\frac{1}{c+2}+\frac{1}{t+2}+\frac{1}{k+2}\)với ctk = 1

Dự đoán MaxP = 1 khi c = t = k = 1

Thật vậy: \(P=\frac{kt+2k+2t+4+ct+2c+2t+4+ck+2c+2k+4}{\left(c+2\right)\left(t+2\right)\left(k+2\right)}=\frac{\left(kt+tc+ck\right)+4\left(c+t+k\right)+12}{ctk+2\left(kt+tc+ck\right)+4\left(c+t+k\right)+8}\le\frac{\left(kt+tc+ck\right)+4\left(c+t+k\right)+12}{1+\left(kt+tc+ck\right)+3\sqrt[3]{\left(ctk\right)^2}+4\left(c+t+k\right)+8}=1\)Đẳng thức xảy ra khi x = y = z

Ta có: \(\frac{\sqrt{yz}}{x+2\sqrt{yz}}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{x}{x+2\sqrt{yz}}\right)\le\frac{1}{2}\left(1-\frac{x}{x+y+z}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{y+z}{x+y+z}\right)\)(bđt cosi) (1)

CMTT: \(\frac{\sqrt{xz}}{y+2\sqrt{xz}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{x+z}{x+y+z}\right)\)(2)

\(\frac{\sqrt{xy}}{z+2\sqrt{xy}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{x+y}{x+y+z}\right)\)(3)

Từ (1), (2) và (3) cộng vế theo vế ta có:

\(\frac{\sqrt{yz}}{x+2\sqrt{yz}}+\frac{\sqrt{xz}}{y+2\sqrt{xz}}+\frac{\sqrt{xy}}{z+2\sqrt{xy}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{y+z}{x+y+z}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{x+z}{x+y+z}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{x+y}{x+y+z}\right)\)

=> P \(\le\frac{1}{2}\left(\frac{y+z+x+z+x+y}{x+y+z}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}=1\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z

Vậy MaxP = 1 <=> x = y = z

một bài khá hay :)

Ta có \(\frac{\sqrt{yz}}{x+2\sqrt{yz}}=1-\frac{x}{x+2\sqrt{yz}}\le1-\frac{x}{x+y+z}\left(1\right)\)

 Tương tự \(\frac{\sqrt{xz}}{y+2\sqrt{xz}}=1-\frac{y}{y+2\sqrt{xz}}\le1-\frac{y}{x+y+z}\left(2\right)\)

\(\frac{\sqrt{xy}}{z+2\sqrt{xy}}=1-\frac{z}{z+2\sqrt{xy}}\le1-\frac{z}{x+y+z}\left(3\right)\)

Cộng (1);(2);(3)

\(2P\le3-\frac{x+y+z}{x+y+z}=2\Rightarrow P\le1\)

Vậy \(minP=1\)Khi và chỉ khi \(x=y=z\)

 1/ x + y + z = 3. Tìm Max P = xy + yz + xz 

Ta có: (x - y)² ≥ 0 <=> x² - 2xy + y² ≥ 0 <=> x² + y² ≥ 2xy 
hay 2xy ≤ x² + y² , dấu " = " xảy ra <=> x = y 
tương tự: 
+) 2yz ≤ y² + z² 
+) 2xz ≤ x² + z² 

cộng 3 vế của 3 bđt trên 
--> 2xy + 2yz + 2xz ≤ 2(x² + y² + z²) 
--> xy + yz + xz ≤ x² + y² + z² 
--> xy + yz + xz + 2xy + 2yz + 2xz ≤ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2xz 
--> 3(xy + yz + xz) ≤ (x + y + z)² 
--> 3(xy + yz + xz) ≤ 3² 
--> xy + yz + xz ≤ 3 

Vậy MaxP = 3 ; Dấu " = " xảy ra <=> x = y = z = 1 

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
2/ x² + ax + bc = 0 (1) 
x² + bx + ac =0 (2) 

Gọi x1 ; x2 là 2 nghiệm của pt (1) và x1 ; x3 là 2 nghiệm của pt (2) 
x1 là nghiệm chung của 2 pt 

x1 là nghiệm của (1) --> (x1)² + a(x1) + bc = 0 
x1 là nghiệm của (2) --> (x1)² + b(x1) + ac = 0 

trừ vế với vế 2 pt trên, ta được: (x1).(a - b) + c(b - a) = 0 
<=> (x1).(a - b) = c(a - b) 
<=> x1 = c 
thay vào (1) ta có: c² + ac + bc = 0 
--> c + a + b = 0 (do c ≠ 0 nên chia cả 2 vế cho c) 
--> a = - b - c ; b = - a - c ; a + b = -c 

thay a = - b - c vào (1): 
--> x² - (b + c)x + bc = 0 (1') 
Áp dụng Viet, ta có: x1 + x2 = b + c ; mà x1 = c --> x2 = b 

tương tự, thay b = - a - c vào (2): 
--> x² - (a + c)x + ac = 0 (2') 
Áp dụng Viet: x1 + x3 = a + c ; mà x1 = c --> x3 = a 

Vậy 
{ x2 + x3 = a + b 
{ x2.x3 = ab 
Theo định lý Viet đảo thì x2 và x3 là 2 nghiệm của pt: 
x² - (a + b)x + ab =0 
<=> x² + cx + ab =0 (do a + b = -c theo CM trên) --> ĐPCM 

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
3/ Cho P(x) = x³ + ax² + bx + c . Giả sử P(1) = 5 ; P(2) = 10 . tính [P(12) - P(-9)] / 105 

Đặt Q(x) = P(x) - 5x 
Ta có: 
Q(1) = P(1) - 5.1 = 5 - 5 = 0 --> x = 1 là 1 nghiệm của Q(x) 
Q(2) = P(2) - 5.2 = 10 - 10 = 0 --> x = 2 cũng là 1 nghiệm của Q(x) 

Do P(x) là đa thức bậc 3 --> Q(x) = P(x) - 5x cũng là đa thức bậc 3 
--> Q(x) có 3 nghiệm, mà 2 nghiệm đã biết ở trên là x = 1 ; x = 2 

Q(x) được biểu diễn dưới dạng: 
Q(x) = (x - 1)(x - 2)(x - m) 
mà Q(x) = P(x) - 5x 
--> P(x) = Q(x) + 5x 
--> P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - m) + 5x 

P(12) = (12 - 1)(12 - 2)(12 - m) + 5.12 = 11.10.(12 - m) + 60 
P(-9) = (-9 - 1)(-9 - 2)(-9 - m) + 5.(-9) = -10.11.(9 + m) - 45 

--> [ P(12) - P(-9) ] / 105 
= [ 11.10.(12 - m) + 60 + 10.11.(9 + m) + 45 ] / 105 
= [ 11.10(12 - m + 9 + m) + 105) ] / 105 
= (10.11.21 + 105) / 105 
= (2.5.11.21 + 105) / 105 
= (2.11.105 + 105) / 105 
= 22 + 1 = 23 

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

a) 

Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz: 
(x² + y² + z²)(1 + 1 + 1) 
= (x² + y² + z²)(1² + 1² + 1²) ≥ (x + y + z)² 
<--> (x² + y² + z²)(1² + 1² + 1²) ≥ 3² = 9 
<--> 3(x² + y² + z²) ≥ 9 
<--> x² + y² + z² ≥ 3 
--> M ≥ 3 
--> min M = 3 khi x = y = z = 1

b) 
Ta có: (x - y)² ≥ 0 <=> x² - 2xy + y² ≥ 0 <=> x² + y² ≥ 2xy 
hay 2xy ≤ x² + y² , dấu " = " xảy ra <=> x = y 
tương tự: 
+) 2yz ≤ y² + z² 
+) 2xz ≤ x² + z² 

cộng 3 vế của 3 bđt trên 
--> 2xy + 2yz + 2xz ≤ 2(x² + y² + z²) 
--> xy + yz + xz ≤ x² + y² + z² 
--> xy + yz + xz + 2xy + 2yz + 2xz ≤ x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2xz 
--> 3(xy + yz + xz) ≤ (x + y + z)² 
--> 3(xy + yz + xz) ≤ 3² 
--> xy + yz + xz ≤ 3 

Vậy MaxP = 3 ; Dấu " = " xảy ra <=> x = y = z = 1 

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
2/ x² + ax + bc = 0 (1) 
x² + bx + ac =0 (2) 

Gọi x1 ; x2 là 2 nghiệm của pt (1) và x1 ; x3 là 2 nghiệm của pt (2) 
x1 là nghiệm chung của 2 pt 

x1 là nghiệm của (1) --> (x1)² + a(x1) + bc = 0 
x1 là nghiệm của (2) --> (x1)² + b(x1) + ac = 0 

trừ vế với vế 2 pt trên, ta được: (x1).(a - b) + c(b - a) = 0 
<=> (x1).(a - b) = c(a - b) 
<=> x1 = c 
thay vào (1) ta có: c² + ac + bc = 0 
--> c + a + b = 0 (do c ≠ 0 nên chia cả 2 vế cho c) 
--> a = - b - c ; b = - a - c ; a + b = -c 

thay a = - b - c vào (1): 
--> x² - (b + c)x + bc = 0 (1') 
Áp dụng Viet, ta có: x1 + x2 = b + c ; mà x1 = c --> x2 = b 

tương tự, thay b = - a - c vào (2): 
--> x² - (a + c)x + ac = 0 (2') 
Áp dụng Viet: x1 + x3 = a + c ; mà x1 = c --> x3 = a 

Vậy 
{ x2 + x3 = a + b 
{ x2.x3 = ab 
Theo định lý Viet đảo thì x2 và x3 là 2 nghiệm của pt: 
x² - (a + b)x + ab =0 
<=> x² + cx + ab =0 (do a + b = -c theo CM trên) --> ĐPCM 

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
3/ Cho P(x) = x³ + ax² + bx + c . Giả sử P(1) = 5 ; P(2) = 10 . tính [P(12) - P(-9)] / 105 

Đặt Q(x) = P(x) - 5x 
Ta có: 
Q(1) = P(1) - 5.1 = 5 - 5 = 0 --> x = 1 là 1 nghiệm của Q(x) 
Q(2) = P(2) - 5.2 = 10 - 10 = 0 --> x = 2 cũng là 1 nghiệm của Q(x) 

Do P(x) là đa thức bậc 3 --> Q(x) = P(x) - 5x cũng là đa thức bậc 3 
--> Q(x) có 3 nghiệm, mà 2 nghiệm đã biết ở trên là x = 1 ; x = 2 

Q(x) được biểu diễn dưới dạng: 
Q(x) = (x - 1)(x - 2)(x - m) 
mà Q(x) = P(x) - 5x 
--> P(x) = Q(x) + 5x 
--> P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - m) + 5x 

P(12) = (12 - 1)(12 - 2)(12 - m) + 5.12 = 11.10.(12 - m) + 60 
P(-9) = (-9 - 1)(-9 - 2)(-9 - m) + 5.(-9) = -10.11.(9 + m) - 45 

--> [ P(12) - P(-9) ] / 105 
= [ 11.10.(12 - m) + 60 + 10.11.(9 + m) + 45 ] / 105 
= [ 11.10(12 - m + 9 + m) + 105) ] / 105 
= (10.11.21 + 105) / 105 
= (2.5.11.21 + 105) / 105 
= (2.11.105 + 105) / 105 
= 22 + 1 = 23 

cô si cho gt

\(xy+yz+zx\le\dfrac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2=\dfrac{4}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{2}{3}\)