Ta có : \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2.\left(xy+yz+zx\right)\ge xy+yz+zx+2.\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3.\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\frac{3^2}{3}=2\)
Hay : \(B\le3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Vậy \(GTLN\) của \(B=3\) khi \(x=y=z=1\)
Ta có bất đẳng thức sau : \(xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\)
\(< =>2\left(xy+yz+zx\right)\le2\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(< =>2xy+2yz+2zx\le2x^2+2y^2+2z^2\)
\(< =>2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)
\(< =>\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)\ge0\)
\(< =>\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)*đúng*
Khi đó ta được bất đăng thức \(xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\)
\(< =>3\left(xy+yz+zx\right)\le\left(x+y+z\right)^2=3^2=9\)
\(< =>xy+yz+zx\le\frac{9}{3}=3\) Tương đương \(B\le3\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=1\)
Vậy GTLN của B = 3 đạt được khi x = y = z = 1
( Ta chứng minh bất đẳng thức sau :
x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx
Thật vậy, nhân 2 vào từng vế của bất đẳng thức
<=> 2( x2 + y2 + z2 ) ≥ 2( xy + 2yz + 2zx )
<=> 2x2 + 2y2 + 2z2 ≥ 2xy + 2yz + 2zx
<=> 2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2zx ≥ 0
<=> ( x2 - 2xy + y2 ) + ( y2 - 2yz + z2 ) + ( z2 - 2zx + x2 ) ≥ 0
<=> ( x - y )2 + ( y - z )2 + ( z - x )2 ≥ 0 ( đúng )
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra <=> x = y = z )
x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx (1)
Cộng 2xy + 2yz + 2zx vào từng vế của (1)
BĐT <=> x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx ≥ xy + yz + zx + 2xy + 2yz + 2zx
<=> ( x2 + 2xy + y2 ) + 2yz + 2zx + z2 ≥ 3xy + 3yz + 3zx
<=> ( x + y )2 + 2( x + y )z + z2 ≥ 3( xy + yz + zx )
<=> ( x + y + z )2 ≥ 3( xy + yz + zx )
<=> 32 ≥ 3( xy + yz + zx ) ( sử dụng gt x + y + z = 3 )
<=> 3 ≥ xy + yz + zx
<=> xy + yz + zx ≤ 3
<=> B ≤ 3
Đẳng thức xảy ra <=> x = y = z
Kết hợp giả thiết x + y + z = 3 => x = y = z = 1
=> MaxB = 3 <=> x = y = z = 1
