Với mọi số nguyên dương n. Ta có: 2⁴ⁿ⁺¹+3⁴ⁿ+2=16ⁿ.2+81ⁿ+2 >5

Vì 16ⁿ có số tận cùng là 6;  =>16ⁿ.2 có  số tận cùng là 2

81ⁿ có số tận cùng là 1

=> 16ⁿ.2+81ⁿ+2 có số tận cùng là 5 mà 16ⁿ.2+81ⁿ+2 >5 suy ra 16ⁿ.2+81ⁿ+2 chia hết cho 5=> 2⁴ⁿ⁺¹+3⁴ⁿ+2 chia hết cho 5=> 2⁴ⁿ⁺¹+3⁴ⁿ+2là hợp số với mọi số nguyên dương n

Lời giải:
Gọi biểu thức trên là $A$
Dễ thấy:

$3^{2^{4n+1}}$ lẻ, $2^{3^{4n+1}}$ chẵn, $5$ lẻ với mọi $n$ tự nhiên 

Do đó $A$ chẵn hay $A\vdots 2(*)$

Mặt khác:

$2^4\equiv 1\pmod 5\Rightarrow 2^{4n+1}\equiv 2\pmod 5$

$\Rightarrow 2^{4n+1}=5k+2$ với $k$ tự nhiên 

$\Rightarrow 3^{2^{4n+1}}=3^{5k+2}=9.(3^5)^k\equiv 9.1^k\equiv 9\pmod {11}$

Và:

$3^4\equiv 1\pmod {10}\Rightarrow 3^{4n+1}\equiv 3\pmod {10}$

do đó $3^{4n+1}=10t+3$ với $t$ tự nhiên 

$\Rightarrow 2^{3^{4n+1}}=2^{10t+3}=8.(2^{10})^t\equiv 8.1^t\equiv 8\pmod{11}$

Do đó: 

$A\equiv 9+8+5=22\equiv 0\pmod {11}$
Vậy $A\vdots 11(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow A\vdots 22$ (do $(2,11)=1$)

a) Vì 2^4k+1 = 2^4k.2 = ....6^k .2

Mà ...6^k có tận cùng là 6 nên 2^4k+1 có tận cùng là 2

=> ....2 + 3 có tận cùng là 5 nên chia hết cho 5

Còn câu b bạn viết lại đề đúng đi

b) Vì 2^4k+2 = 2^4k.2² = ...6^k.2²

Mà ...6^k có tận cùng là 6 và 2² có tận cùng là 4 nên 2^4k+2 có tận cùng là 4

=> ...4 + 1 có tận cùng là 5 nên chia hết cho 5