cho các số a,b,c,d tm 0<a,b,c,d<1 tính gtln của bt:
P=\(\sqrt[3]{abcd}+\sqrt[3]{\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\left(1-d\right)}\)
a, CMR với mọi số nguyên n không chia hết cho 5 thì \(n^4-1\) chia hết cho 5
b, Tìm tất cả các số nguyên tố a, b, c ,d, e tm \(a^4+b^4+c^4+d^4+e^4=abcde\)
c, Tìm các số nguyênduwongc a,b tm \(a\left(ab+1\right)⋮a^2+b\) và \(b\left(ab+1\right)⋮b^2-a\)
Đề HSG Nghệ An ak bạn
P = \(n^4-1=\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)\)
\(=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-4+5\right)=\left(n-2\right)\left(n+2\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)+5\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)
P \(⋮5\Leftrightarrow Q=\left(n-2\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮5\)
mà n không chia hết cho 5 => có dạng n = 5k + 1 ;5k + 2 ; 5k + 3 ;5k + 4 (k \(\in Z\))
Khi n = 5k + 1 => n - 1 \(⋮5\Rightarrow Q⋮5\Rightarrow P⋮5\)
tương tự với n = 5k + 2 ; n = 5k + 3 ; n = 5k + 4 thì Q \(⋮5\Rightarrow P⋮5\)
b.
Điều duy nhất cần chú ý trong bài toán này: \(n^4\equiv1\left(mod5\right)\) với mọi số nguyên n ko chia hết cho 5
Do đó:
- Nếu cả 5 số a;b;c;d;e đều ko chia hết cho 5 thì vế trái chia hết cho 5, vế phải ko chia hết cho 5 (ktm)
- Nếu cả 5 số a;b;c;d;e đều chia hết cho 5 thì do chúng là số nguyên tố
\(\Rightarrow a=b=c=d=e=5\)
Thay vào thỏa mãn
- Nếu có k số (với \(1\le k\le4\)) trong các số a;b;c;d;e chia hết cho 5, thì vế phải chia hết cho 5, vế phải chia 5 dư \(5-k\ne\left\{0;5\right\}\) nên ko chia hết cho 5 \(\Rightarrow\) ktm
Vậy \(\left(a;b;c;d;e\right)=\left(5;5;5;5;5\right)\) là bộ nghiệm nguyên tố duy nhất
Cho các số nguyên dương a , b , c TM ( a , b , c ) = 0 và ab/( a + b ) = c
CMR : a - b là số chính phương
giúp mình với nhanh có tick
cho các số a,b,c tm dk a+b+c=0, a^2+b^2+c^2=14 tìm p= a^4+b^4+c^4
\(a+b+c=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=0\)
\(\Leftrightarrow14+2\left(ab+bc+ca\right)=0\)
\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)=-14\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ac=-7\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)^2=49\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2=49\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)=49\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=49\)(vì a+b+c=0)
Ta có: \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=196\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2=196\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+98=196\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=98\)
1 . Cho a , b , c , d tm : a+b=c+d và a2+b2=c2+d2
CMR : a2013+b2013=c2013+d2013
2 . Tìm x , y nguyên tm : 2x3-2y2+5xy+1=0
Ta có: a² + b² = c² + d² =>a²-c²=d²-b²
=>(a-c)(a+c)=(d-b)(d+b)
Ta lại có: a + b = c + d
=> a- c = d - b
Nếu a = c => b = d thì
a²⁰¹³ + b²⁰¹³ = c²⁰¹³ + d²⁰¹³ (đúng).
Nếu a≠c =>b≠d
=>a-c=d-b ≠ 0
Khi đó biểu thức (1) trở thành:
a+c=b+d (vì a-c, d-b ≠ 0)
mà: a + b = c + d
Cộng hai biểu thức theo vế ta được: 2a+b+c=b+c+2d
=>2a=2d =>a=d =>b=c
Vì a=d và b=c nên biểu thức a²⁰¹³ + b²⁰¹³ = c²⁰¹³ + d²⁰¹³ đúng.
Cho x>y TM: x+y<=1 CMR: 1/x^2+y^2 = 1/xy>=6
Cho a,b,c >0 TM: a+b+c<=1 CMR: (1/a^2+bc) + (1/b^2+ac)+ 1/c^2+2ab >=9
Cho a,b>0 TM: a+b<=1 ;CMR: (1/a^b^2)+4b+1/ab>=7
Cho a,b>0 TM:a+b<=1. CMR: 1/1+a^2+b^2 +1/2ab >=8/3
Cho a,b,c>0 TM: a+b+c<=3.CMR: 1/a^2+b^2+c^2 +2009/ab+bc+ac >=670
Cho x>y TM: x+y<=1 CMR: 1/x^2+y^2 = 1/xy>=6
Cho a,b,c >0 TM: a+b+c<=1 CMR: (1/a^2+bc) + (1/b^2+ac)+ 1/c^2+2ab >=9
Cho a,b>0 TM: a+b<=1 ;CMR: (1/a^b^2)+4b+1/ab>=7
Cho a,b>0 TM:a+b<=1. CMR: 1/1+a^2+b^2 +1/2ab >=8/3
Cho a,b,c>0 TM: a+b+c<=3.CMR: 1/a^2+b^2+c^2 +2009/ab+bc+ac >=670
Cho x>y TM: x+y<=1 CMR: 1/x^2+y^2 = 1/xy>=6
Cho a,b,c >0 TM: a+b+c<=1 CMR: (1/a^2+bc) + (1/b^2+ac)+ 1/c^2+2ab >=9
Cho a,b>0 TM: a+b<=1 ;CMR: (1/a^b^2)+4b+1/ab>=7
Cho a,b>0 TM:a+b<=1. CMR: 1/1+a^2+b^2 +1/2ab >=8/3
Cho a,b,c>0 TM: a+b+c<=3.CMR: 1/a^2+b^2+c^2 +2009/ab+bc+ac >=670
Cho số thực a,b,c ;a,b,c khác 0 tm:
b2=ac.Cm : a/c= (a+2017b)²/(b+2017c)²
Ta có :
\(b^2=ac\)\(\Rightarrow\)\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\)\(\Rightarrow\)\(\frac{a}{b}=\frac{2017b}{2017c}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\frac{a}{b}=\frac{2017b}{2017c}=\frac{a+2017b}{b+2017c}\)
\(\Rightarrow\)\(\left(\frac{a}{b}\right)^2=\left(\frac{a+2017b}{b+2017c}\right)^2=\frac{\left(a+2017b\right)^2}{\left(b+2017c\right)^2}\)\(\left(1\right)\)
Lại có :
\(\left(\frac{a}{b}\right)^2=\frac{a}{b}.\frac{a}{b}=\frac{a}{b}.\frac{b}{c}=\frac{ab}{bc}=\frac{a}{c}\)\(\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra :
\(\frac{a}{c}=\frac{\left(a+2017b\right)^2}{\left(b+2017c\right)^2}\)
Vậy ...
Chúc bạn học tốt ~
Ta có: \(b^2=ac\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{2017b}{2017c}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{a}{b}=\frac{2017b}{2017c}=\frac{a+2017b}{b+2017c}\)
\(\Rightarrow\left(\frac{a}{b}\right)^2=\left(\frac{a+2017b}{b+2017c}\right)^2=\frac{\left(a+2017b\right)^2}{\left(b+2017c\right)^2}\left(1\right)\)
Ta lại có:
\(\left(\frac{a}{b}\right)^2=\frac{a}{b}.\frac{a}{b}=\frac{a}{b}.\frac{b}{c}=\frac{ab}{bc}=\frac{a}{c}\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\frac{\left(a+2017b\right)^2}{\left(b+2017c\right)^2}=\frac{a}{c}\)
cho a,b,c là các số thực tm\(ab+bc+ca=abc\)và\(a+b+c=1\)cmr\(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)=0\)
\(\hept{\begin{cases}ab+bc+ca-abc=0\\a+b+c-1=0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}abc-ab-bc-ca=0\\a+b+c-1=0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(abc-ab-bc-ca\right)+\left(a+b+c-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(abc-ab\right)-\left(ac-a\right)-\left(bc-b\right)+\left(c-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow ab\left(c-1\right)-a\left(c-1\right)-b\left(c-1\right)+\left(c-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)=0\)
Vậy..........