bài n t vừa làm mà, vào link này nhé 

https://olm.vn/hoi-dap/question/1129328.html

Từ giả thiết, ta có 

\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=4\Rightarrow a+b+c+2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)=4\)

=>\(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=1\)

Tháy vào, ta có M=\(\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}+a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}+b}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}+c}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}\)

=\(\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\left(\sqrt{b}+\sqrt{a}\right)}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{\left(\sqrt{c}+\sqrt{a}\right)\left(\sqrt{c}+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}\)

=\(\sqrt{a}+\sqrt{c}+\sqrt{b}+\sqrt{a}+\sqrt{c}+\sqrt{b}=2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)=4\)

Vậy M=4

^_^

2/

a/ \(\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}\ge2\sqrt{\sqrt{a}.\frac{1}{\sqrt{a}}}=2\), dấu "=" khi \(a=1\)

b/ \(a+b+\frac{1}{2}=a+\frac{1}{4}+b+\frac{1}{4}\ge2\sqrt{a.\frac{1}{4}}+2\sqrt{b.\frac{1}{4}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\)

Dấu "=" khi \(a=b=\frac{1}{4}\)

c/ Có lẽ bạn viết đề nhầm, nếu đề đúng thế này thì mình ko biết làm

Còn đề như vậy: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\) thì làm như sau:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\) ; \(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{2}{\sqrt{yz}}\); \(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\ge\frac{2}{\sqrt{yz}}\)

Cộng vế với vế ta được:

\(\frac{2}{x}+\frac{2}{y}+\frac{2}{z}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}+\frac{2}{\sqrt{yz}}+\frac{2}{\sqrt{xz}}\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\)

Dấu "=" khi \(x=y=z\)

d/ \(\frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}-2}-\frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}+2}=\frac{\left(\sqrt{3}+2\right)\left(\sqrt{3}+2\right)}{\left(\sqrt{3}-2\right)\left(\sqrt{3}+2\right)}-\frac{\left(\sqrt{3}-2\right)\left(\sqrt{3}-2\right)}{\left(\sqrt{3}+2\right)\left(\sqrt{3}-2\right)}\)

\(=\frac{7+4\sqrt{3}}{3-4}-\frac{7-4\sqrt{3}}{3-4}=-7-4\sqrt{3}+7-4\sqrt{3}=-8\sqrt{3}\)

e/ \(\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{ab}}:\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{\left(\sqrt{a}\right)^3+\left(\sqrt{b}\right)^3}{\sqrt{ab}}.\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\)

\(=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(a-\sqrt{ab}+b\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{\sqrt{ab}}=\frac{\left(a-b\right)\left(a+b-\sqrt{ab}\right)}{\sqrt{ab}}\)

\(=\frac{a^2-b^2}{\sqrt{ab}}-\left(a-b\right)\) (bạn chép đề sai)

@Akai Haruma Cô giúp em với ạ!!!

? Cosi thôi câu 1 2 phần II

Bạn tham khảo:

Câu hỏi của Nguyễn Thu Trà - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

Bài toán phụ: chứng minh \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\) với \(x,y\in R\)

Giải: Ta có: \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)\(\Leftrightarrow\)\(x^2+2xy+y^2-4xy\ge0\)

\(\Leftrightarrow\)\(x^2-2xy+y^2\ge0\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng).

Vậy \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\) dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y.\)

Theo đề ta có \(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}=\frac{1}{\sqrt{abc}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{\sqrt{abc}}=\frac{1}{\sqrt{abc}}\)

Suy ra \(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=1\)

Mặt khác \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=4\)

\(\Leftrightarrow\)\(a+b+c+2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)=4\)\(\Leftrightarrow\)\(a+b+c+2=4\)\(\Leftrightarrow\)\(a+b+c=2\)

Theo bài toán phụ ta có: \(\left(a+b+c\right)^2=\left[a+\left(b+c\right)\right]^2\ge4a\left(b+c\right)\)

Mà \(a+b+c=2\)\(\Rightarrow\)\(4\ge4a\left(b+c\right)\)\(\Leftrightarrow\)\(1\ge a\left(b+c\right)\)\(\Leftrightarrow\)\(b+c\ge a\left(b+c\right)^2\)

Do \(\left(b+c\right)^2\ge4bc\) nên \(a\left(b+c\right)^2\ge4abc\) hay \(b+c\ge4abc\) (đpcm).

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=b+c\\b=c\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\)\(b=c=\frac{1}{2},\) \(a=1\)