ĐK: \(y\ne0,xy\ge0\).

\(4x^2+9y^2=16xy\)

Chia cả hai vế cho \(y^2\)ta được: 

\(4\left(\frac{x}{y}\right)^2+9=\frac{16x}{y}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{y}=\frac{4\pm\sqrt{7}}{2}\)

Với \(y>0\)thì \(x\ge0\)

\(P=\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{y^2}}{y}-\sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{\sqrt{x}\sqrt{y}+y}{y}-\sqrt{\frac{x}{y}}=\sqrt{\frac{x}{y}}+1-\sqrt{\frac{x}{y}}=1\)

Với \(y< 0\)thì \(x\le0\):

\(P=\frac{\sqrt{xy}+\sqrt{y^2}}{y}-\sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{\sqrt{-x}\sqrt{-y}-y}{y}-\sqrt{\frac{x}{y}}=-\sqrt{\frac{x}{y}}-1-\sqrt{\frac{x}{y}}=-2\sqrt{\frac{x}{y}}-1\)

\(=-2\sqrt{\frac{4\pm\sqrt{7}}{2}}-1=-\left(1\pm\sqrt{7}\right)-1=-2\pm\sqrt{7}\)

\(P=\frac{\sqrt{y}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{y}-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{y}}-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}=\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}=1\)

ĐK : x , y > 0 

Sai rồi cha nội \(\sqrt{y}.\sqrt{y}\)=\(y\)chứ có phải \(\sqrt{y^2}\)đâu

Mình nghĩ phần phân thức là $3x+3y+2z$ thay vì $3x+3y+3z$. Nếu là vậy thì bạn tham khảo lời giải tại link sau:

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức xy yz zx=5. Tìm GTNN của biểu thức \(P=\frac{3x 3y 2z}{\sqrt{6\left(... - Hoc24

Hì , giải đc rùi nha.

Vì \(x,y\in R\)

\(\Rightarrow\left(x+2\right).\left(y+2\right)=\frac{25}{4}\)

Min \(P=\sqrt{1+x^4}+\sqrt{1+y^4}\)

- Dự đoán \(x=y=\frac{1}{2}\)

- Sử dụng BĐT : \(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{a+b}\)    ( Với a,b > 0 )

=>  \(1+x^4=16.\frac{1}{16}+a^4=16.\left(\frac{1}{4}\right)^2+a^2\ge\frac{[16.\frac{1}{4}+a^2]^2}{17}\)

\(=\frac{(a^2+4)^2}{17}\)

=> \(1+y^4\ge\frac{\left(y^2+4\right)^2}{17}\)

=> \(P\ge\frac{x^2+y^2+8}{\sqrt{17}}\)

\(\Leftrightarrow P\sqrt{17}=\frac{1}{5}\left(x^2+y^2\right)+\frac{4}{5}\left(x^2+\frac{1}{4}+y^2+\frac{1}{4}\right)+8-\frac{2}{5}\)

\(\ge\frac{2xy}{5}+\frac{4}{5}\left(x+y\right)+8-\frac{2}{5}=\frac{2}{5}[xy+2\left(x+y\right)]+8-\frac{2}{5}\)

Theo giả thiết \(\left(x+2\right)\left(y+2\right)=\frac{25}{4}\)

\(\Leftrightarrow xy+2\left(x+y\right)=\frac{9}{4}\)

\(\Rightarrow P\sqrt{17}\ge\frac{2}{5}.\frac{9}{4}+8-\frac{2}{5}=\frac{17}{2}\)

\(\Leftrightarrow P\ge\frac{\sqrt{17}}{2}\)

Điểm rơi \(x=y=\frac{1}{2}\)

TK: Tìm Min (x^4 + 1) (y^4 + 1) với x + y = căn10 ; x , y > 0 - Thanh Truc

Em dùng AM-GM nhá,em ko dùng cosi đâu ha :)

\(S=\frac{x}{\sqrt{1-x}}+\frac{y}{\sqrt{1-y}}\)

\(=\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{x}}=\left(\frac{x}{\sqrt{y}}+\sqrt{y}\right)+\left(\frac{y}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}\right)-\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\)

\(\ge2\sqrt{x}+2\sqrt{y}-\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)=\sqrt{x}+\sqrt{y}\)

Lại có:

\(S=\frac{x}{\sqrt{1-x}}+\frac{y}{\sqrt{1-y}}\)

\(=\frac{1-y}{\sqrt{y}}+\frac{1-x}{\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}-\sqrt{x}-\sqrt{y}\)

Khi đó:\(2S\ge\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\ge\frac{2}{\sqrt[4]{xy}}\ge\frac{2}{\sqrt{\frac{x+y}{2}}}=2\sqrt{2}\Rightarrow S\ge\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra tại x=y=¹/₂

bài đó nhân liên hợp là ra

Bạn tham khảo cách làm của bạn Thắng Nguyễn ở đây nhé

Câu hỏi của Băng Mikage - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath