(x²-19)(x²-30)<0

Vì x²-19 >x²-30 nên: 

x²-19 >0 và x²-30 <0

=>19<x²<30

Để x nguyên dương thì x² là số chính phương

=>x²=25

=>x=5(nhận) hoặc x=-5 (loại)

Vậy x=5

<=> x² -19 > 0 và x² - 30 < 0

<=> x² > 19 và x² < 30

<=> x > 4 và x < 6

<=> x = 5

Vì \(\left(x^2-19\right)\left(x^2-30\right)< 0\)

\(\Rightarrow\)x² - 19 và x² - 30 trái dấu

Mà x² - 19 > x² - 30

Do đó 30>x²>19

x là số nguyên dương, từ đó ra x = 5

Lời giải:
Đặt $\sqrt{x^2+1}+x=a$ thì:
$f(a)=e^a-e^{\frac{1}{a}}$

$f'(a)=e^a+\frac{1}{a^2}.e^{\frac{1}{a}}>0$ với mọi $a$

Do đó hàm $f(a)$ là hàm đồng biến hay $f(x)$ là hàm đồng biến trên R
$\Rightarrow f(x)> f(0)=0$ với mọi $x>0$

$\Rightarrow f(\frac{12}{m+1})>0$ với $m$ nguyên dương 

Do đó để $f(m-7)+f(\frac{12}{m+1})<0$ thì $f(m-7)<0$

$\Rightarrow m-7<0$

Mặt khác, dễ thấy: $f(x)+f(-x)=0$. Bây h xét:

$m=1$ thì $f(m-7)+f(\frac{12}{m+1})=f(-6)+f(6)=0$ (loại)

$m=2$ thì $f(m-7)+f(\frac{12}{m+1})=f(-5)+f(4)=f(4)-f(5)<0$ (chọn)

$m=3$ thì $f(m-7)+f(\frac{12}{m+1})=f(-4)+f(3)=f(3)-f(4)<0$ (chọn)

$m=4$ thì $f(m-7)+f(\frac{12}{m+1})=f(-3)+f(2,4)=f(2,4)-f(3)<0$ (chọn) 

$m=5$ thì $f(m-7)+f(\frac{12}{m+1})=f(-2)+f(2)=0$ (loại)

$m=6$ thì $f(m-7)+f(\frac{12}{m+1})=f(-1)+f(12/7)>f(-1)+f(1)=0$ (loại)

Vậy có 3 số tm

(x²-19).(x²-30)<0 

Đáp số: x = 5