a, Xét ΔDHB và ΔDAB ta có:
HB = AB

DB chung

=> ΔDHB = ΔDAB ( cạnh huyền - cạnh góc vuông)

=> ˆDBHDBH^ = ˆDBADBA^ 

=> BD là tia phân giác ˆABCABC^

b, BD là tia phân giác ˆABCABC^ 

=> ˆDBADBA^  = 30∘∘

ΔABC vuông tại A có ˆABCABC^  = 60∘∘

=> ˆACBACB^  = 30∘∘

Xét ΔDCH và ΔDBA ta có:

ˆDBADBA^  = ˆACBACB^ ( =30∘∘)

DH = DA ( do ΔDHA = ΔDAB chứng minh câu a)

=> ΔDCH = ΔDBA ( cạnh huyền - góc nhọn)

=> DC = DB

=> ΔBDC cân tại D

a/ Xét tg vuông ABD và tg vuông HBD có

BD chung; HB=AB (gt) => tg ABD = tg HBD (2 tg vuông có cạnh huyền và cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau)

\(\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{HBD}\) => BD là phân giác \(\widehat{ABC}\)

b/

Xét tg vuông ABC có

\(\Rightarrow\widehat{ACB}=90^o-\widehat{ABC}=90^o-60^o=30^o\)

\(\Rightarrow AB=\frac{BC}{2}\) (trong tg vuông cạnh đối diện với góc 30 độ bằng nửa cạnh huyền) (1)

Ta có HB=AB (gt) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow HB=\frac{BC}{2}\) => H là trung điểm của BC => DH là trung tuyến thuộc BC

Mà \(DH\perp BC\) => DH là đường cao của tg BDC

=> tg BDC cân tại D (Trong tg nếu đường cao đồng thời là đường trung tuyến thì tg đó là tg cân)

a: ΔAHB vuông tại H có HP vuông góc AB

nên AP*AB=AH^2

ΔAHC vuông tại H có HQ vuông góc AC

nên AQ*AC=AH^2

=>AP*AB=AQ*AC

góc APH+góc AQH=180 độ

=>APHQ nội tiếp

Xét ΔMHP và ΔMQH có

góc MHP=góc MQH(=góc PAH)

góc M chung

=>ΔMHP đồng dạg với ΔMQH

=>MH/MQ=MP/MH

=>MH^2=MP*MQ

APHQ nội tiếp

=>góc APQ=góc AHQ=góc C

=>QPB+góc QCB=180 độ

=>PQCB nội tiếp

=>góc QPB+góc QCB=180 độ

=>góc MPB=góc MCQ

Xét ΔMPB và ΔMCQ có

góc MPB=góc MCQ

góc M chung

=>ΔMPB đồng dạng với ΔMCQ

=>MP/MC=MB/MQ

=>MP*MQ=MB*MC=MH^2

b: Kẻ tiếp tuyến Ax của (O)

=>góc xAC=góc ABC

=>góc xAC=góc AQP

=>PQ//Ax

=>AO vuông góc PQ

a, Xét hai tam giác vuông ABH và tam giác vuông ACH có :

               góc AHB = góc AHC = 90độ

               AB = AC ( vì tam giác ABC cân tại A )

               cạnh AH chung

Do đó : tam giác ABH = tam giác ACH ( cạnh huyền - cạnh góc vuông )

=> HB = HC ( cạnh tương ứng )

và góc BAH = góc CAH ( góc tương ứng )

b,Xét tam giác AHE và tam giác AHF có :

          góc AEH = góc AFH = 90độ

           cạnh AH chung

          góc HAE = góc HAF ( theo câu a )

Do đó ; tam giác AHE = tam giác AHF ( cạnh huyền - góc nhọn )

=> AE = AF ( cạnh tương ứng )

=> tam giác AEF cân tại A 

=> góc AEF = góc AFE = \(\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\) ( 1 )

Vì tam giác ABC là tam giác cân nên :

góc ABC = góc ACB = \(\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\) ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra : góc AEF = góc AFE = góc ABC = góc ACB

mà góc AEF = góc ABC và ở vị trí đồng vị 

=> EF // BC .

Học tốt

Bằng câu trả lời