#)Giải :

Ta có : \(P=a^4+b^4+2-2-ab\)

Áp dụng BĐT cô si, ta có : 

\(a^4+1\ge2a^2\)dấu = xảy ra khi a = 1

\(b^4+1\ge2b^2\)dấu = xảy ra khi b = 1

Khi đó \(P\ge2a^2+2b^2-2-ab\)

           \(P\ge2\left(a^2+b^2+ab\right)-2-3ab\)

           \(P\ge4-3ab\)( thay \(a^2+b^2+ab=3\)vào ) (1)

Mặt khác \(a^2+b^2\ge2ab\)

Khi đó \(a^2+b^2+ab=3\ge2ab+ab=3ab\)

\(\Rightarrow ab\le1\)(2)

Từ (1) và (2)

Ta có : \(P\ge4-3ab\ge4-3=1\)

Vậy P đạt GTNN là 1 khi a = b = 1

                #~Will~be~Pens~#

,

Ngắn gọn thì đây là 1 bài toán không giải được (min max tồn tại, nhưng không thể tìm được)

Cực trị xảy ra tại \(x=\dfrac{a}{b}\) là nghiệm của pt bậc 4:

\(7x^4+11x^3-3x^2-4x-2=0\)

Là một pt không thể phân tích về các pt bậc thấp hơn

Nếu sửa đề thế này thì có thể quy về 1 biến khá đơn giản:

\(3-ab=a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow ab\le1\)

\(3-ab=a^2+b^2\ge-2ab\Rightarrow ab\ge-3\)

\(\Rightarrow-3\le ab\le1\)

\(P=\left(a^2+b^2\right)^2-2a^2b^2-ab=\left(3-ab\right)^2-2a^2b^2-ab=-a^2b^2-7ab+9\)

Đặt \(ab=x\Rightarrow-3\le x\le1\)

\(P=-x^2-7x+9=\left(-x^2-7x+8\right)+1=1+\left(1-x\right)\left(x+8\right)\ge1\)

\(P=\left(-x^2-7x-12\right)+21=21-\left(x+3\right)\left(x+4\right)\le21\)

2) \(S=a+\frac{1}{a}=\frac{15a}{16}+\left(\frac{a}{16}+\frac{1}{a}\right)\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(S\ge\frac{15a}{16}+2.\sqrt{\frac{a}{16}.\frac{1}{a}}=\frac{15.4}{16}+2.\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{15}{4}+2.\frac{1}{4}=\frac{15}{4}+\frac{1}{2}=\frac{15}{4}+\frac{2}{4}=\frac{17}{4}\)

\(S=\frac{17}{4}\Leftrightarrow a=4\)

Vậy \(S_{min}=\frac{17}{4}\Leftrightarrow a=4\)

kudo shinichi sao cách làm giống của thầy Hồng Trí Quang vậy bạn?

\(S=a+\frac{1}{a}=\frac{15}{16}a+\left(\frac{a}{16}+\frac{1}{a}\right)\ge\frac{15}{16}a+2\sqrt{\frac{1.a}{16.a}}=\frac{15}{16}a+2.\frac{1}{4}\)

\(=\frac{15}{16}.4+\frac{1}{2}=\frac{17}{4}\Leftrightarrow a=4\)

Dấu "=" xảy ra khi a = 4

Vậy \(S_{min}=\frac{17}{4}\Leftrightarrow a=4\)

đặt \(t=ab+bc+ca\)

\(=>t=ab+bc+ca\le\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=3\)

mặt khác 

\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(=>a^2+b^2+c^2=9-2\left(ab+bc+ca\right)\)

khi đó 

\(P=\frac{9-2t}{t}\)(zới t nhỏ hơn hoặc = 3)

xét \(f\left(t\right)=\frac{9-2t}{t}\left(t\le3\right)\)

\(f'\left(t\right)=-\frac{9}{t^2}< 0\)

=> f(t) N Biến \(\left(-\infty,3\right)\)

min f(t)=f(3)=1

koo tồn tại max\(f\left(t\right)\)

zậy minP=1 khi a=b=c=1

ta có \(4=2a^2+\frac{b^2}{4}+\frac{1}{a^2}=a^2+a^2+\frac{b^2}{4}+\frac{1}{a^2}\ge4\sqrt[4]{\frac{a^2.a^2.b^2}{4a^2}}\)

Vậy\(\sqrt[4]{\frac{a^2b^2}{4}}\le1\Leftrightarrow a^2b^2\le4\Leftrightarrow-2\le ab\le2\)

Vậy \(2007\le ab+2009\le2011\)

Hi vọng là tìm GTLN:

Không mất tính tổng quát, giả sử b, c cùng phía với 1 \(\Rightarrow\left(b-1\right)\left(c-1\right)\ge0\Leftrightarrow bc\ge b+c-1\).

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: 

\(4=a^2+b^2+c^2+abc\ge a^2+2bc+abc\Leftrightarrow2bc+abc\le4-a^2\Leftrightarrow bc\left(a+2\right)\le\left(2-a\right)\left(a+2\right)\Leftrightarrow bc+a\le2\)

\(\Rightarrow a+b+c\le3\).

Áp dụng bất đẳng thức Schwarz ta có:

\(P\le\dfrac{ab}{9}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}\right)+\dfrac{bc}{9}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{c}\right)+\dfrac{ca}{9}\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{2}{a}\right)=\dfrac{1}{9}.3\left(a+b+c\right)=\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)\le1\).

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.

Ta có: P= \(2a+3b+\dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{b}\) = \(\text{​​}\text{​​}(\dfrac{1}{a}+a)+\left(\dfrac{4}{b}+b\right)+\left(a+2b\right)\)

Ta thấy: \(\text{​​}\text{​​}(\dfrac{1}{a}+a)\ge2\sqrt{\dfrac{1}{a}\cdot a}=2\)

             \(\text{​​}\text{​​}\left(\dfrac{4}{b}+b\right)\ge2\sqrt{\dfrac{4}{b}\cdot b}=4\)

Do đó: P \(\ge2+4+5=11\)

Vậy: P(min)=11  khi:  \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{a}=a\\\dfrac{4}{b}=b\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=2\end{matrix}\right..\)