Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn \(abc=1\)Chứng minh :
\(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(a+c\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}\ge\frac{3}{2}\)
không dùng svacxo nhé các bạn , mình cần cách nào ngắn gọn hơn chứ cách đấy dàiiiii
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng: \(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}\ge\frac{3}{2}.\)
Bài này làm hoài :v
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz và BĐT AM-GM ta có:
\(VT=\frac{b^2c^2}{ab+ac}+\frac{a^2c^2}{ab+bc}+\frac{a^2b^2}{ac+bc}\)
\(\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{ab+bc+ca}{2}\)
\(\ge\frac{3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}}{2}=\frac{3}{2}=VP\)
Khi a=b=c=1
Đặt \(\left\{a;b;c\right\}\rightarrow\left\{\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right\}\)Khi đó : \(\frac{1}{x}.\frac{1}{y}.\frac{1}{z}=\frac{1}{x.y.z}=a.b.c=1< =>x.y.z=1\)
\(BĐT< =>\frac{1}{\left(\frac{1}{x}\right)^3\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}+\frac{1}{\left(\frac{1}{y}\right)^3\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\right)}+\frac{1}{\left(\frac{1}{z}\right)^3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)}\ge\frac{3}{2}\)
\(< =>\frac{x^3yz}{y+z}+\frac{y^3xz}{z+x}+\frac{z^3xy}{x+y}\ge\frac{3}{2}\)\(< =>\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{3}{2}\)(*)
Ta chỉ cần chỉ ra bất đẳng thức (*) đúng thì bài toán được giải quyết , thật vậy :
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức :
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{y+z+z+x+x+y}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}\) (**)
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=3\sqrt[3]{1}=3\)Tương đương \(\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3}{2}\)(***)
Từ (**) và (***) ta được \(\frac{x^2}{z+y}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3}{2}\)
Suy ra bất đẳng thức (*) đúng . Nên ta có điều phải chứng minh !
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=1< =>a=b=c=1\)
Bài này dùng Sac - xơ để ý một xíu là ra nhé !
Theo BĐT Svacxo ta có :
\(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}\) \(=\frac{\frac{1}{a^2}}{a\left(b+c\right)}+\frac{\frac{1}{b^2}}{b.\left(c+a\right)}+\frac{\frac{1}{c^2}}{c.\left(a+b\right)}\)
\(\ge\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{2.\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{\left(\frac{ab+bc+ca}{abc}\right)^2}{2.\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2.\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(=\frac{ab+bc+ca}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{2}=\frac{3}{2}\) ( Do \(abc=1\) )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Vậy BĐT được hoàn tất !
Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng:
\(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\ge\frac{3}{4}\)
Bạn tham khảo tại đây:
Câu hỏi của Trần Hữu Ngọc Minh - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Áp dụng BĐT Cosi ta được:
\(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8}\ge3\sqrt{\frac{a^3\left(1+b\right)\left(1+c\right)}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)64}}=\frac{3a}{4}̸\)
Tương tự \(\hept{\begin{cases}\frac{b^3}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}+\frac{1+a}{8}+\frac{1+c}{8}\ge\frac{3b}{4}\\\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}+\frac{1+a}{8}+\frac{1+b}{8}\ge\frac{3c}{4}\end{cases}}\)
Cộng theo từng vế BĐT trên ta có:
\(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}+\frac{3}{4}\ge\frac{a+b+c}{2}\)
Vì \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\)do đó:
\(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\ge\frac{3}{4}\left(đpcm\right)\)
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh:
\(\frac{a}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\frac{b}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{c}{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}\ge\frac{3}{4}\)
cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng \(\frac{a}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\frac{b}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\frac{c}{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}\ge\frac{3}{4}\)
ta có: \(\frac{a}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\frac{b}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{c}{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}.\)
\(\ge3\sqrt[3]{\frac{a.b.c}{\left(a+1\right)^2.\left(b+1\right)^2.\left(c+1\right)^2}}=\frac{3}{\sqrt[3]{\left(a+1\right)^2.\left(b+1\right)^2.\left(c+1\right)^2}}\) (vì abc=1) (*)
Mặt khác: \(\left(a+1\right)^2.\left(b+1\right)^2.\left(c+1\right)^2\ge64abc=64=4^3\) (vì abc=1)
=> \(\sqrt[3]{\left(a+1\right)^2.\left(b+1\right)^2.\left(c+1\right)^2}\ge4\) (**)
Từ (*), (**)=> đpcm
Bạn dưới kia làm ngược dấu thì phải,mà bài này hình như là mũ 3
\(\frac{a^3}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\frac{a+1}{8}+\frac{b+1}{8}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3\left(a+1\right)\left(b+1\right)}{64\left(a+1\right)\left(b+1\right)}}=\frac{3a}{4}\)
Tương tự rồi cộng lại:
\(RHS+\frac{2\left(a+b+c\right)+6}{8}\ge\frac{3\left(a+b+c\right)}{4}\)
\(\Leftrightarrow RHS\ge\frac{3}{4}\) tại a=b=c=1
Ta cần chứng minh \(\Sigma\frac{a}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}\ge\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\Sigma\left[4a\left(c+1\right)\right]\ge3\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\)
\(\Leftrightarrow4\Sigma ab+4\Sigma a\ge3abc+3\Sigma ab+3\Sigma a+3\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca+a+b+c\ge6\)(*)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương ta được:
\(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}=3\); \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\)(Do theo giả thiết thì abc = 1)
Suy ra (*) đúng
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Cho à các số thực dương thỏa mãn \(abc=1\).Chứng minh rằng :
\(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\ge\frac{3}{4}\)
xin lỗi nhé bên trên do đánh nó không hiện nên tưởng không viết được ,
Cộng từng vế của 3 bđt cùngc hiều ta có \(A+\frac{a+b+c+3}{4}>=\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)\)
=> \(A>=\frac{a+b+c}{2}-\frac{3}{4}\)
Áp dụng bđts cô si ta có a+b+c>=\(3\sqrt[3]{abc}=3\)
=> A>=\(\frac{3}{4}\)
mình làm hơi tắt cậu chịu khó đọc nhé
bài này Áp dụng bất đẳng thức cô si nhé
đặt \(A=\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\)
ta có Áp dựng bất đẳng thức cô si ta có \(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8}>=3\sqrt[3]{\frac{a^3}{64}}=\frac{3a}{4}\)
tương tự ta có \(\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{1+c}{8}+\frac{1+a}{8}>=\frac{3b}{4}\)
\(\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}+\frac{1_{1+a}}{8}+\frac{1+b}{8}>=\frac{3c}{4}\)
cộng từng vế của 3 bđt cùng chiều ta có \(A>=\frac{3\left(a+b+c\right)}{4}\)
mà
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện abc=1. Chứng minh rằng\(\frac{1}{a\left(a+b\right)}+\frac{1}{b\left(b+c\right)}+\frac{1}{c\left(c+a\right)}\ge\frac{3}{2}\)
Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn abc=1
Chứng minh
\(\frac{1}{b^3\left(a+c\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}+\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}\ge\frac{3}{2}\)
Ta có:
\(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}=\frac{\frac{1}{a^2}}{a\left(b+c\right)}=\frac{\frac{1}{a^2}}{\frac{b+c}{bc}}\)
Biến đổi tương tự cho 2 BĐT còn lại ta có:
\(\frac{1}{b^3\left(a+c\right)}=\frac{\frac{1}{b^2}}{\frac{a+c}{ac}};\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}=\frac{\frac{1}{c^2}}{\frac{a+b}{ab}}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}\)
\(\ge\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}}=\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{1}{2}3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}=\frac{3}{2}\)
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
\(18\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\left(9+5\sqrt{3}\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(=\)\(18\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{1}\right)\)\(=\)\(18\frac{3}{1}\)\(>\)\(\left(9+5\sqrt{3}\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)\(=\)\(0\)
Vậy\(18\frac{3}{1}\)\(>\)\(0\)
Chứng minh là \(18\frac{3}{1}\)\(>\)\(0\)là đúng
chúc bạn học tốt
Bất đẳng thức trên
<=> + 1 +
+ 1 +
+ 1 ≥ 3
<=> +
+
≥ 3 (*)
Ta có: VT(*) ≥
Ta sẽ chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ (ab + 1)(bc + 1)(ca + 1)
<=> abc + ab + bc + ca + a + b + c + 1
≥ a2b2c2 + abc(a + b + c) + ab + bc + ca + 1
<=> 3 ≥ a2b2c2 + 2abc (**)
Theo Cosi: 3 = a + b + c ≥ 3 =>
≤ 1 => abc ≤ 1
Vậy (**) đúng => (*) đúng.
1/hỏi có hay không 16 số tự nhiên, mỗi số có 3 chữ số được tạo thành từ ba chữ số a,b,c thỏa mãn hai số bất kỳ trong chúng không có cùng số dư khi chia cho 16?
2/cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1.chứng minh: \(\frac{a}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\frac{b}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{c}{\left(a+1\right)\left(c+1\right)}\ge\frac{3}{4}\)