Xài BĐT Bunhiacopski ta dễ có:
\(\left[a\left(b+c\right)+b\left(a+c\right)+c\left(a+b\right)\right]\left[\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}\right]\)
\(\ge\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=\left(ab+bc+ca\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}\ge\frac{ab+bc+ca}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{2}=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra tại a=b=c=1
Đặt \(\left(a;b;c\right)\rightarrow\left(\frac{x}{y};\frac{y}{z};\frac{z}{x}\right)\) khi đó vế trái của bất đẳng thức tương đương với :D
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\)
Sử dụng AM - GM:
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y+z}\cdot\frac{y+z}{4}}=x\)
Tương tự cộng lại thì có đpcm nhóe :))
không dùng svacxo thì AM-GM cũng được nhé
Gáy một chút. (Vào thống kê hỏi đáp mình xem ảnh nhé, cách dùng SOS chỉ 1 dòng thôi :P)