Hàm số xác định trên R khi và chỉ khi:

\(sin^2x+\left(2m-3\right)cosx+3m-2>0;\forall x\in R\)

\(\Leftrightarrow-cos^2x+\left(2m-3\right)cosx+3m-1>0\)

\(\Leftrightarrow t^2-\left(2m-3\right)t-3m+1< 0;\forall t\in\left[-1;1\right]\)

\(\Leftrightarrow t^2+3t+1< m\left(2t+3\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{t^2+3t+1}{2t+3}< m\) (do \(2t+3>0;\forall t\in\left[-1;1\right]\))

\(\Leftrightarrow m>\max\limits_{\left[-1;1\right]}\dfrac{t^2+3t+1}{2t+3}\)

Ta có: \(\dfrac{t^2+3t+1}{2t+3}=\dfrac{t^2+t-2+2t+3}{2t+3}=\dfrac{\left(t-1\right)\left(t+2\right)}{2t+3}+1\)

Do \(-1\le t\le1\Rightarrow\dfrac{\left(t-1\right)\left(t+2\right)}{2t+3}\le0\)

\(\Rightarrow\max\limits_{\left[-1;1\right]}\dfrac{t^2+3t+1}{2t+3}=1\)

\(\Rightarrow m>1\)

a/

\(y=1-sin^2x+2sinx+2=4-\left(sinx-1\right)^2\le4\)

\(y_{max}=4\) khi \(sinx=1\)

Mặt khác \(sinx\ge-1\Rightarrow\left(sinx-1\right)^2\le4\)

\(y_{min}=4-4=0\) khi \(sinx=-1\)

b/

\(y=sin^4x-2\left(1-sin^2x\right)+1=sin^4x+2sin^2x-1\)

Do \(0\le sin^2x\le1\)

\(\Rightarrow-1\le y\le2\)

\(y_{min}=-1\) khi \(sinx=0\)

\(y_{max}=2\) khi \(sin^2x=1\)

c/

\(y=2\left(1-cos2x\right)+sin2x+cos2x\)

\(=sin2x-cos2x+2=\sqrt{2}sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)+2\)

Do \(-1\le sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)\le1\)

\(\Rightarrow2-\sqrt{2}\le y\le2+\sqrt{2}\)

\(y_{min}=2-\sqrt{2}\) khi \(sin\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)=-1\)

\(y_{max}=2+\sqrt{2}\) khi \(sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)=1\)

d/

\(y=\left(sin^2x+cos^2x\right)^3-3sin^2x.cos^2x\left(sin^2x+cos^2x\right)\)

\(=1-3sin^2x.cos^2x\)

\(=1-\frac{3}{4}sin^22x\)

Mà \(0\le sin^22x\le1\Rightarrow\frac{1}{4}\le y\le1\)

\(y_{min}=\frac{1}{4}\) khi \(sin^22x=1\)

\(y_{max}=1\) khi \(sin2x=0\)

e/

\(y=5sinx+6cosx-7\)

\(=\sqrt{61}\left(\frac{5}{\sqrt{61}}sinx+\frac{6}{\sqrt{61}}cosx\right)-7\)

\(=\sqrt{61}\left(sinx.cosa+cosx.sina\right)-7\) (với \(a\in\left(0;\pi\right)\) sao cho \(cosa=\frac{5}{\sqrt{61}}\))

\(=\sqrt{61}.sin\left(x+a\right)-7\)

Do \(-1\le sin\left(x+a\right)\le1\Rightarrow7-\sqrt{61}\le y\le7+\sqrt{61}\)

\(y_{min}=7-\sqrt{61}\) khi \(sin\left(x+a\right)=-1\)

\(y_{max}=7+\sqrt{61}\) khi \(sin\left(x+a\right)=1\)

f/

\(y=2\left(\frac{1}{2}sinx+\frac{\sqrt{3}}{2}cosx\right)+3\)

\(=2sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+3\)

\(\Rightarrow1\le y\le5\)

\(y_{min}=1\) khi \(sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=-1\)

\(y_{max}=5\) khi \(x+\frac{\pi}{3}=1\)

Hàm số xác định trên \(R\Leftrightarrow\sin^2x-2\sin x+m-1\ge0,\forall x\in R\left(\text{*}\right)\)

Đặt \(x=t\)

Ta có \(-1\le\sin x\le1\Rightarrow-1\le t\le1\)

\(\left(\text{*}\right)\Leftrightarrow t^2-2t+m-1\ge0,\forall t\in\left[-1;1\right]\\ \Leftrightarrow t^2-2t+1+m-2\ge0\\ \Leftrightarrow\left(t-1\right)^2\ge2-m,\forall t\in\left[-1;1\right]\\ \Leftrightarrow2-m\le Min\left(t-1\right)^2\)

Với \(t\in\left[-1;1\right]\Leftrightarrow0\le\left(t-1\right)^2\le4\)

\(\Leftrightarrow2-m\le0\\ \Leftrightarrow m\ge2\)

Vậy \(m\ge2\) thì hàm số xác định trên \(R\)

ĐKXĐ: \(cos2x\ne\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x\ne\pm\dfrac{\pi}{6}+k\pi\)

\(\sqrt{3}sin^2x-2sinx.cosx-\sqrt{3}cos^2x=0\)

\(\Leftrightarrow-sin2x-\sqrt{3}\left(cos^2x-sin^2x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow sin2x+\sqrt{3}cos2x=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}sin2x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}cos2x=0\)

\(\Leftrightarrow sin\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2x+\dfrac{\pi}{3}=k\pi\)

\(\Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{k\pi}{2}\)

Nghiệm này bao gồm 2 họ nghiệm: \(\left[{}\begin{matrix}x=-\dfrac{\pi}{6}+k\pi\\x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi\end{matrix}\right.\)

Do đó sau khi loại nghiệm theo ĐKXĐ ta được nghiệm của pt là: \(x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi\)

a, \(y=sin^2x-2sinx+3cos^2x\)

\(=sin^2x-2sinx+3\left(1-sin^2x\right)\)

\(=3-2sinx-2sin^2x\)

Đặt \(sinx=t\left(t\in\left[0;1\right]\right)\)

\(\Rightarrow y=f\left(t\right)=3-2t-2t^2\)

\(\Rightarrow y_{min}=min\left\{f\left(0\right);f\left(1\right)\right\}=-1\)

\(y_{max}=max\left\{f\left(0\right);f\left(1\right)\right\}=3\)

b, \(y=sinx-cosx+sin2x+5\)

\(=sinx-cosx-\left(sinx-cosx\right)^2+6\)

Đặt \(sinx-cosx=t\left(t\in\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]\right)\)

\(\Rightarrow y=f\left(t\right)=-t^2+t+6\)

\(\Rightarrow y_{min}=min\left\{f\left(-\sqrt{2}\right);f\left(0\right)\right\}=4-\sqrt{2}\)

\(y_{max}=max\left\{f\left(-\sqrt{2}\right);f\left(0\right)\right\}=6\)

c, \(y=sinx-cosx+sinx.cosx-3\)

\(=sinx-cosx-\dfrac{1}{2}\left(sinx-cosx\right)^2-\dfrac{5}{2}\)

Đặt \(sinx-cosx=t\left(t\in\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]\right)\)

\(\Rightarrow y=f\left(t\right)=-\dfrac{1}{2}t^2+t-\dfrac{5}{2}\)

\(\Rightarrow y_{min}=min\left\{f\left(-\sqrt{2}\right);f\left(\sqrt{2}\right);f\left(1\right)\right\}=-\dfrac{7+2\sqrt{2}}{2}\)

\(y_{max}=max\left\{f\left(-\sqrt{2}\right);f\left(\sqrt{2}\right);f\left(1\right)\right\}=-2\)

b.

\(\Leftrightarrow\dfrac{3}{2}\left(1-cos2x\right)-sin2x+m=0\)

\(\Leftrightarrow sin2x+\dfrac{3}{2}cos2x-\dfrac{3}{2}=m\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{13}}{2}\left(\dfrac{2}{\sqrt{13}}sin2x+\dfrac{3}{\sqrt{13}}cos2x\right)-\dfrac{3}{2}=m\)

Đặt \(\dfrac{2}{\sqrt{13}}=cosa\) với \(a\in\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{13}}{2}sin\left(2x+a\right)-\dfrac{3}{2}=m\)

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:

\(\dfrac{-\sqrt{13}-3}{2}\le m\le\dfrac{\sqrt{13}-3}{2}\)

Lý thuyết đồ thị:

Phương trình \(f\left(x\right)=m\) có nghiệm khi và chỉ khi \(f\left(x\right)_{min}\le m\le f\left(x\right)_{max}\)

Hoặc sử dụng điều kiện có nghiệm của pt lương giác bậc nhất (tùy bạn)

a.

\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\left(1-cos2x\right)+\dfrac{1}{2}sin2x=m\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}sin2x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}cos2x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}=m\)

\(\Leftrightarrow sin\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)+\dfrac{\sqrt{3}}{2}=m\)

\(\Rightarrow\) Pt có nghiệm khi và chỉ khi:

\(-1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\le m\le1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

c.

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}cos2x+\left(m-1\right)sin2x-\left(m+1\right)\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}cos2x\right)=m\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-2\right)sin2x-\left(m+2\right)cos2x=3m\)

Theo điều kiện có nghiệm của pt lượng giác bậc nhất, pt có nghiệm khi:

\(\left(2m-2\right)^2+\left(m+2\right)^2\ge9m^2\)

\(\Leftrightarrow m^2+m-2\le0\)

\(\Leftrightarrow-2\le m\le\)

a) \(\sqrt{3}\left(\dfrac{1+cos2x}{2}\right)+\dfrac{1}{2}sin2x=m\) ↔ \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}cos2x+\dfrac{1}{2}sin2x=m-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) 

→\(\sqrt{3}cos2x+sin2x=2m-\sqrt{3}\) ↔ \(2cos\left(\dfrac{\pi}{6}-2x\right)=2m-\sqrt{3}\)

→\(cos\left(\dfrac{\pi}{6}-2x\right)=m-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) 

Pt có nghiệm khi và chỉ khi \(-1\le m-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\le1\) 

b)  \(\left(3+m\right)sin^2x-2sinx.cosx+mcos^2x=0\)

 cosx=0→ sinx=0=> vô lý 

→ sinx#0 chia cả 2 vế của pt cho cos²x ta đc:

\(\left(3+m\right)tan^2x-2tanx+m=0\)

pt có nghiệm ⇔ △^' ≥0

Tự giải phần sau 

c) \(\left(1-m\right)sin^2x+2\left(m-1\right)sinx.cosx-\left(2m+1\right)cos^2x=0\) 

⇔cosx=0→sinx=0→ vô lý

⇒ cosx#0 chia cả 2 vế pt cho cos²x

\(\left(1-m\right)tan^2x+2\left(m-1\right)tanx-\left(2m+1\right)=0\)

pt có nghiệm khi và chỉ khi △^' ≥ 0

Tự giải