Cho các số thực x,y,a,b thỏa mãn x+y=a+b,xy=ab. Chứng minh rằng \(x^n+y^n=a^n+b^n\) với mọi số tự nhiên n
Cho số thực x,y,a,b thỏa mãn x+y=a+b, xy=ab. CMR: \(x^n+y^n=a^n+b^n\) với mọi số tự nhiên n
Ta có
x+y=a+b <=> x- a= b+y (1)
x^2 +y^2 = a^2 +b^2
<=> x^2 - a^2 = b^2 -y^2
<=> (x+ a) ( x+a) = ( b-y) (b+y)
Nếu x-a= b-y = 0 thì x= a và y =b => x^n + y^n = a^ n+ b^ n
Nêu x- a = b-y \(\ne\)0 thì x+ a=b+ y ( chia hai vế theo biểu thức cho x-a vag b-y tương ứng )
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được x=b ; y= a
<=> x^ n+ y^ n= a^n + b^ n.
=> ĐPCM
1) Cho \(A_n=2018^n+2032^n-1964^n-1984^n\)
a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì \(A_n⋮51\)
b) Tìm tất cả số tự nhiên n sao cho \(A_n⋮45\)
2) Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn \(\left(xy+x+y\right)\left(x^2+y^2+1\right)=30\)
a) Ta có: \(2018^n-1964^n⋮3\)
\(2032^n-1984^n⋮3\)
nên An chia hết cho 3
Mà \(2018^n-1984^n⋮17\)
\(2032^n-1964^n⋮17\)
nên An chia hết cho 17
Vậy A chia hết cho 51
b) Ta có: An đồng dư 3^n +2^n-2.4^n (mod5)
và An đồng dư 2^n + 7^n -2^n-4^n (mod9)
Vậy An chia hết cho 45 khi n có dạng 12k
1. a)
+) \(A_n=2018^n+2032^n-1964^n-1984^n\)
\(=\left(2018^n-1964^n\right)+\left(2032^n-1984^n\right)\)
Vì \(2018^n-1964^n⋮2018-1964\)=>\(2018^n-1964^n⋮54\)=> \(2018^n-1964^n⋮3\)
\(\left(2032^n-1984^n\right)⋮3\)
=> \(A_n⋮3\)(1)
+) \(A_n=\left(2018^n-1984^n\right)+\left(2032^n-1964^n\right)\)
Vì : \(2018^n-1984^n⋮17\)và \(\left(2032^n-1964^n\right)⋮17\)
=> \(A_n⋮17\)(2)
Từ (1) ; (2) ; 3.17=51 và (3; 17) = 1
=> \(A_n⋮51\)
1, Tìm các số tự nhiên x,y sao cho: p^x = y^4 + 4 biết p là số nguyên tố
2, Tìm tất cả số tự nhiên n thỏa mãn 2n + 1, 3n + 1 là các số cp, 2n + 9 là các số ngtố
3, Tồn tại hay không số nguyên dương n để n^5 – n + 2 là số chính phương
4, Tìm bộ số nguyên dương ( m,n ) sao cho p = m^2 + n^2 là số ngtố và m^3 + n^3 – 4 chia hết cho p
5, Cho 3 số tự nhiên a,b,c thỏa mãn điều kiện: a – b là số ngtố và 3c^2 = ab +c ( a + b )
Chứng minh: 8c + 1 là số cp
6, Cho các số nguyên dương phân biệt x,y sao cho ( x – y )^4 = x^3 – y^3
Chứng minh: 9x – 1 là lập phương đúng
7, Tìm các số nguyên tố a,b,c sao cho a^2 + 5ab + b^2 = 7^c
8, Cho các số nguyên dương x,y thỏa mãn x > y và ( x – y, xy + 1 ) = ( x + y, xy – 1 ) = 1
Chứng minh: ( x + y )^2 + ( xy – 1 )^2 không phải là số cp
9, Tìm các số nguyên dương x,y và số ngtố p để x^3 + y^3 = p^2
10, Tìm tất cả các số nguyên dương n để 49n^2 – 35n – 6 là lập phương 1 số nguyên dương
11, Cho các số nguyên n thuộc Z, CM:
A = n^5 - 5n^3 + 4n \(⋮\)30
B = n^3 - 3n^2 - n + 3 \(⋮\)48 vs n lẻ
C = n^5 - n \(⋮\)30
D = n^7 - n \(⋮\)42
a,Chứng minh rằng : A = n3 + 23n chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n
b,Tìm tất cả các cặp số nguyên (x ; y) thỏa mãn đẳng thức:
2xy + x + y = 23
Giúp mình nhé mình sẽ tích ngay cho các bạn bây giờ mình đang rất cần
a) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x,y) sao cho: 4x+5y=35
b) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên khác 0 (x,y) sao cho: (2x+5).(x+2)=3y
c) Tìm các số nguyên tố x,y thỏa mãn: 272x=11y+29
d) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì: (10n+72n-1) chia hết cho 81
d 10^n+72^n -1
=10^n -1+72n
=(10-1) [10^(n-1)+10^(n-2)+ .....................+10+1]+72n
=9[10^(n-1)+10^(n-2)+..........................-9n+81n
cho các số nguyên dương a,b,c.d thỏa mãn ab=cd . Chứng minh rằng A= \(a^n+b^n+c^n+d^{.n}\)là một hợp số với mọi số tự nhiên n
\(ab=cd\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)
Đặt \(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=k\Rightarrow a=ck;b=dk\)
\(\Rightarrow ab=cd\Leftrightarrow cdk^2-cd=0\)
\(\Leftrightarrow cd\left(k^2-1\right)=0\Leftrightarrow k=\pm1\)
\(\left(+\right)k=1\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=1\Leftrightarrow a=c;b=d\)
\(\Rightarrow a^n+b^n+c^n+d^n=2a^n+2b^n\ge4\forall a,b>0\)
và \(2a^n+2b^n⋮2\Rightarrow a^n+b^n+c^n+d^n\)là hợp số
\(\left(+\right)k=-1\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=-1\Leftrightarrow a=-c;b=-d\)( vô lí )
Vì \(a,b,c,d>0\)
Vậy \(A=a^n+b^n+c^n+d^n\)là hợp số
Đoạn > = 4 kia là với mọi a,b thuộc N* nhé ><
Bài 1:
a) Chứng minh: \(a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ac\right)\) với mọi số thực a,b,c
b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì: \(A=5^{n+2}+26.5^n+8^{2n+1}⋮59\)
Bài 2:
a) Cho ba số x,y,z thỏa mãn điều kiện:
\(4x^2+2y^2+2z^2-4xy-4xz+2yz-6y-10z+34=0\)
Tính giá trị của biểu thức \(T=\left(x-4\right)^{2014}+\left(y-4\right)^{2014}+\left(z-4\right)^{2014}\)
b) Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn \(3^x-y^3=1\)
Ta có (a + b + c)2 \(\ge0\forall a;b;c\inℝ\)
=> a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca \(\ge\)0
=> a2 + b2 + c2 \(\ge\)0 - (2ab + 2bc + 2ca)
=> a2 + b2 + c2 \(\le\)2ab + 2bc + 2ca
=> a2 + b2 + c2 \(\le\)2(ab + bc + ca)
Dấu "=" xảy ra <=> a + b + c = 0
Xí bài 2 ý a) trước :>
4x2 + 2y2 + 2z2 - 4xy - 4xz + 2yz - 6y - 10z + 34 = 0
<=> ( 4x2 - 4xy + y2 - 4xz + 2yz + z2 ) + ( y2 - 6y + 9 ) + ( z2 - 10z + 25 ) = 0
<=> [ ( 4x2 - 4xy + y2 ) - 2( 2x - y )z + z2 ] + ( y - 3 )2 + ( z - 5 )2 = 0
<=> [ ( 2x - y )2 - 2( 2x - y )z + z2 ] + ( y - 3 )2 + ( z - 5 )2 = 0
<=> ( 2x - y - z )2 + ( y - 3 )2 + ( z - 5 )2 = 0
Ta có : \(\hept{\begin{cases}\left(2x-y-z\right)^2\\\left(y-3\right)^2\\\left(z-5\right)^2\end{cases}}\ge0\forall x,y,z\Rightarrow\left(2x-y-z\right)^2+\left(y-3\right)^2+\left(z-5\right)^2\ge0\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}2x-y-z=0\\y-3=0\\z-5=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=4\\y=3\\z=5\end{cases}}\)
Thế vào T ta được :
\(T=\left(4-4\right)^{2014}+\left(3-4\right)^{2014}+\left(5-4\right)^{2014}\)
\(T=0+1+1=2\)
\(a=10;b=0;c=0\Rightarrow VT=100;VP=0\text{ nên BĐT sai và BĐT chỉ luôn đúng khi}\)
a,b,c là 3 cạnh của tam giác
\(A=25.5^n+26.5^n+8^{2n}.8=25.5^n+26.5^n+64^n.8\)
\(\equiv25.5^n+26.5^n+64^n.8\equiv25.5^n+26.5^n+5^n.8\equiv59.5^n\equiv0\left(\text{mod 59}\right)\text{ có đpcm}\)
cho các số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn ab=cd. chứng minh rằng A=an+bn+cn+dn là một hợp số với mọi số tự nhiên n
Lớp 6 khó vậy sao?
ab=cd (*)
a=b=c=d=1 => A=4=2.2 đúng
a=[c,d]
b=[c,d]
a,b,c,d, vai trò như nhau
g/s a=c; b=d
A=2a^2+2b^2 =2.(a^2+b^2) => A hợp số
với a,b,c,d >1, và a,b,c,d khác nhau
ta có
đảm bảo (*)
( không tồn tại ab=cd khác nhau mà nguyên tố)
g/s a và c có ước lớn nhất p
ta có a=x.p và c=y.p ( do p lớn nhất => (x,y)=1)(**)
từ ab=cd=> x.p.b=y.p.d
từ (**)=> b=y.q và d=x.q
thay hết vào A
A=x^n .p^n+y^n.q^n^n+y^n.p^n+x^n.q^n =x^n(p^n+q^n)+y^n(p^n+q^n)=(x^n+y^n)(p^n+q^n)
A=B.C --> dpcm
gọi \(d'\)là \(ƯCLN\left(a,c\right)\)
\(\Rightarrow a=d'p;b=d'q;\left(m,n\right)=1;p,q\inℕ^∗\)
\(ab=cd\Rightarrow d'bp=d'dq\Rightarrow bp=dq\)
Mà \(\left(p,q\right)=1\Rightarrow b⋮q\)
Đặt \(b=qk\)do đó \(d=pk\)\(k\inℕ^∗\)
Ta có:\(A=d'^n\cdot p^n+q^n\cdot k^n+d'^n\cdot q^n+p^n\cdot k^n\)
\(=d'^n\cdot p^n+d'^n\cdot q^n+q^n\cdot k^n+p^n\cdot k^n\)
\(=d'^n\left(p^n+q^n\right)+k^n\left(p^n+q^n\right)\)
\(=\left(d'^n+k^n\right)\left(p^n+q^n\right)>0\)
\(\Rightarrowđpcm\)
cho các số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn ab=cd. chứng minh rằng A= an+bn+cn+dnlà một hợp số với mọi số tự nhiên n
Ta có: \(ab=cd\Leftrightarrow\frac{a}{c}=\frac{d}{b}\)
Đặt \(\frac{a}{c}=\frac{d}{b}=k\left(k\inℕ\right)\)
Ta xét 2 TH sau:
Nếu k = 1 => \(\hept{\begin{cases}a=c\\b=d\end{cases}}\) \(\Rightarrow A=a^n+b^n+c^n+d^n=2\left(a^n+b^n\right)\) chia hết cho 2 và lớn hơn 2
=> A là hợp số
Nếu k khác 1 thì ta có: \(\hept{\begin{cases}a=ck\\d=bk\end{cases}\left(k\inℕ^∗\right)}\)
Thay vào: \(A=a^n+b^n+c^n+d^n=\left(ck\right)^n+b^n+c^n+\left(bk\right)^n\)
\(=c^n\left(k^n+1\right)+b^n\left(k^n+1\right)=\left(b^n+c^n\right)\left(k^n+1\right)\) là hợp số
=> đpcm
=> đpcm ( ngại trình bày)