Question

Cho các số thực x,y,a,b thỏa mãn x+y=a+b,xy=ab. Chứng minh rằng \(x^n+y^n=a^n+b^n\) với mọi số tự nhiên n

Answer 1

Ta có: xy = ab <=> \(\frac{x}{a}=\frac{b}{y}\)(a; y \(\ne\)0)

Đặt \(\frac{x}{a}=\frac{b}{y}=k\) => \(\hept{\begin{cases}x=ak\\b=yk\end{cases}}\)(*)

Khi đó: x + y = a + b <=> ak + y = a + yk

<=> ak - a + y - yk = 0

<=> a(k - 1) - y(k - 1) = 0

<=> (a - y)(k - 1) = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}a=y\\k=1\end{cases}}\)

Với a = y => b = x

<=> aⁿ = yⁿ  (1) và bⁿ = xⁿ (2) (x \(\in\)N)

Từ (1) và (2) cộng vế theo vế : aⁿ + bⁿ = yⁿ + xⁿ

Với k = 1 thay vào (*) => \(\hept{\begin{cases}x=a\\b=y\end{cases}}\) <=> \(\hept{\begin{cases}x^n=a^n\\y^n=b^n\end{cases}}\) => xⁿ + yⁿ = aⁿ + bⁿ

=> đpcm