Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 3 sô dương ta có

\(1+x^3+y^3\ge3\sqrt[3]{1.x^3.y^3}=3xy\Leftrightarrow\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}\ge\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{xy}}\left(1\right)\)

tương tự

\(\frac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}\ge\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{yz}}\left(2\right);\frac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{xz}\ge\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{xz}}\left(3\right)\)

mặt khác \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{xy}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{yz}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{zx}}\ge3\sqrt[3]{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{xy}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{yz}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{zx}}}\Rightarrow\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{xy}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{yz}}+\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{zx}}\ge3\sqrt{3}\left(4\right)\)

Cộng các BĐT 1,2,3,4 ta đc đpcm

Đẳng thức xảy ra khi (1) (2) (3) (4) là các đẳng thức <=> x=y=z=1

nguồn : ĐH 2005A-db1

mình trả lời r mà sao chưa hiện ra thế nhỉ ??

\(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\frac{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}{\sqrt{xy}}\right)\)

\(=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right).\frac{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}{\sqrt{xy}}\)

\(=\frac{-y+\sqrt{x}.\sqrt{y}}{\sqrt{y}}.\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}.\sqrt{y}-y\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\sqrt{y}}\)

\(=\frac{xy-y^2}{y}\)

\(=\frac{y\left(x-y\right)}{y}\)

= x - y (đpcm)

\(y=-2x+mx+m\Leftrightarrow y=\left(m-2\right)x+m\)

Đường thẳng đã cho song song với \(y=\sqrt{3}x\) khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}m-2=\sqrt{3}\\m\ne0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow m=2+\sqrt{3}\)

Từ biểu thức trên không thể có x = y

\(\sqrt{\left(2-\frac{1}{y}\right).\frac{1}{y}}=\sqrt{\left(2-\frac{1}{x}\right).\frac{1}{x}}\)

=> \(\left(2-\frac{1}{y}\right).\frac{1}{y}=\left(2-\frac{1}{x}\right).\frac{1}{x}\)

=> \(\frac{2}{y}-\frac{1}{y^2}=\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}\)

=> \(\frac{2}{x}-\frac{2}{y}=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{y^2}\)

=> \(2.\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)\)( # )

Với x = y

=> \(\frac{1}{x}=\frac{1}{y}\)

=> \(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=0\)

=> ( # ) luôn đúng

Với \(x\ne y\)

=> \(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\ne0\)

Chia cả hai vế của ( # ) cho \(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\)

=> 2 = \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)

Vậy với x, y thỏa mãn \(2=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)hoặc x = y ( x, y > 0 ) thì \(\sqrt{\left(2-\frac{1}{y}\right).\frac{1}{y}}=\sqrt{\left(2-\frac{1}{x}\right).\frac{1}{x}}\)luôn đúng và với \(x\ne y\)thì biểu thức vẫn có thể đúng.

Vậy với biểu thức đúng thì x chưa chắc đã bằng y

Cám ơn Nguyễn Chí Thành

Bạn đúng rồi

Đúng là mk nghĩ thiếu thường hợp .

^.^

\(\left(1+x\right)\left(1+\frac{y}{x}\right)\ge\left(1+\sqrt{\frac{x.y}{x}}\right)^2=\left(1+\sqrt{y}\right)^2\)

\(\Rightarrow VT\ge\left[\left(1+\sqrt{y}\right)\left(1+\frac{9}{\sqrt{y}}\right)\right]^2\ge\left(1+3\right)^4=256\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}y=9\\x=3\end{matrix}\right.\)

\(=\dfrac{\sqrt{a}+2+\sqrt{a}-2}{a-4}:\dfrac{\sqrt{a}+2-2}{\sqrt{a}+2}\)

\(=\dfrac{2\sqrt{a}}{a-4}\cdot\dfrac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}}=\dfrac{2}{\sqrt{a}-2}\)