Cho a, b, c thoả mãn
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=1\)
tìm GTNN của \(T=\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)\)
1. Cho a + b + c = 9 và a,b,c là các số dương. Tìm GTNN của P = \(\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)\left(b^2+\frac{1}{b^2}\right)\left(c^2+\frac{1}{c^2}\right)\)
2. Cho a,b,c > 0 thõa mãn: a + b + c = 1. Tìm GTNN của Q = \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\)
đây là 1 sự nhầm lẫn đối với các bạn nhác tìm dấu = :))
Sử dụng BĐT Svacxo ta có :
\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\)
\(=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{18}{2ab+2bc+2ca}\ge\frac{\left(1+\sqrt{18}\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}\)
\(=\frac{19+\sqrt{72}}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{25\sqrt{2}}{1}=25\sqrt{2}\)
bài làm của e :
Áp dụng BĐT Svacxo ta có :
\(Q\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}\)
Theo hệ quả của AM-GM thì : \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)
\(< =>\frac{7}{ab+bc+ca}\ge\frac{7}{\frac{1}{3}}=21\)
Tiếp tục sử dụng Svacxo thì ta được :
\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+21=30\)
Vậy \(Min_P=30\)đạt được khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Và đương nhiên cách bạn dcv_new chỉ đúng với \(k\ge2\) ở bài:
https://olm.vn/hoi-dap/detail/259605114604.html
Thực ra bài Min \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\) khi a + b + c = 1
chỉ là hệ quả của bài \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{k}{ab+bc+ca}\) khi \(a+b+c\le1\)
Ngoài ra nếu \(k< 2\) thì min là: \(\left(1+\sqrt{2k}\right)^2\)
Cho các số nguyên a, b, c thoả mãn ab+bc+ca=1. Tính giá trị của biểu thức M= \(\frac{a\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)}{\left(1+a^2\right)\left(b+c\right)}\)+\(\frac{b\left(1+c^2\right)\left(1+a^2\right)}{\left(1+b^2\right)\left(c+a\right)}\)+\(\frac{c\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}{\left(1+c^2\right)\left(a+b\right)}\)
thay 1=ab+bc+ca vào M phân tích và rút gọn
cháu càng nói thế bác càng k giải nhé :v
Cho a; b; c > o thoả mãn: abc = 1. Chứng minh:
\(\frac{1}{\left(a+1\right)^2}+\frac{1}{\left(b+1\right)^2}+\frac{1}{\left(c+1\right)^2}+\frac{2}{\left(a+1\right).\left(b+1\right).\left(c+1\right)}\ge1\)
Bài 1: Cho a,b,c thỏa mãn a+b+c=3
Tìm GTNN \(P=\frac{a^3}{b\left(2c+a\right)}+\frac{b^3}{c\left(2a+b\right)}+\frac{c^3}{a\left(2b+c\right)}\)
Bài 2: Cho a,b>0 thỏa mãn a+b=2
Tìm GTNN \(Q=2\left(a^2+b^2\right)-6\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+9\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)\)
bài 1
ÁP dụng AM-GM ta có:
\(\frac{a^3}{b\left(2c+a\right)}+\frac{2c+a}{9}+\frac{b}{3}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3.\left(2c+a\right).b}{b\left(2c+a\right).27}}=a.\)
tương tự ta có:\(\frac{b^3}{c\left(2a+b\right)}+\frac{2a+b}{9}+\frac{c}{3}\ge b,\frac{c^3}{a\left(2b+c\right)}+\frac{2b+c}{9}+\frac{a}{3}\ge c\)
công tất cả lại ta có:
\(P+\frac{2a+b}{9}+\frac{2b+c}{9}+\frac{2c+a}{9}+\frac{a+b+c}{3}\ge a+b+c\)
\(P+\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\ge a+b+c\)
Thay \(a+b+c=3\)vào ta được":
\(P+2\ge3\Leftrightarrow P\ge1\)
Vậy Min là \(1\)
dấu \(=\)xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Tìm a,b,c nguyên dương thoả mãn : \(\left(\frac{1}{a^2}+1\right)\left(\frac{1}{b^2}+1\right)\left(\frac{1}{c^2+1}\right)=\frac{32}{abc}\)
Cho a,b,c là các số dương thoả mãn ab+bc+ca=1
Tìm GTNN của biểu thức
\(B=\frac{a^8}{\left(b^2+c^2\right)^2}+\frac{b^8}{\left(c^2+a^2\right)^2}+\frac{c^8}{\left(a^2+b^2\right)^2}\)
Giải chi tiết hộ mk:
1/Tìm x, y nguyên thoả mãn \(x+y+xy+2=x^2+y^2\)
2/Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện abc=1.chứng minh rằng:
\(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\ge\frac{3}{4}\)
\(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\)
Ta có:
\(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8}\ge\frac{3a}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge\frac{6a-b-c-2}{8}\)
Tương tự ta có: \(\hept{\begin{cases}\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}\ge\frac{6b-c-a-2}{8}\\\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\ge\frac{6c-a-b-2}{8}\end{cases}}\)
Cộng vế theo vế ta được
\(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\ge\frac{6a-b-c-2}{8}+\frac{6b-c-a-2}{8}+\frac{6c-a-b-2}{8}\)
\(=\frac{a+b+c}{2}-\frac{3}{4}\ge\frac{3}{2}.\sqrt[3]{abc}-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}\)
Cho 3 số thưc a,b,c thỏa mãn
\(7\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)=6\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)+2016\)
Tìm GTNN của
\(P=\frac{1}{\sqrt{3\left(2a^2+b^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{3\left(2b^2+c^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{3\left(2c^2+a^2\right)}}\)
Cho a.b,c là các số thực thỏa mãn 0<a,b,c<1 và ab+bc+ca=1.
Tìm GTNN của P=\(\frac{a^2\left(1-b\right)}{b}+\frac{b^2\left(1-c\right)}{c}+\frac{c^2\left(1-a\right)}{a}\)