Nhìn không đủ chán rồi không dám động vào

Viết đề kiểu gì v @@

À do nãy máy lag sr :) Chứ bài đặt ẩn phụ mệt lắm :)

ĐKXĐ: \(x\ge1\).

Phương trình đã cho tương đương:

\(\sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}=\dfrac{8}{\sqrt{4x^4-12x^3+9x^2+16}-\left(2x^2-3x\right)}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}=\dfrac{\sqrt{4x^4-12x^3+9x^2+16}+\left(2x^2-3x\right)}{2}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{4x^4-12x^3+9x^2+16}+\left(2x^2-3x\right)-2\sqrt{x+3}-2\sqrt{x-1}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{4x^4-12x^3+9x^2+16}-2\sqrt{x+3}\right)+\left(2x^2-3x-2\sqrt{x-1}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4x^4-12x^3+9x^2-4x+4}{\sqrt{4x^4-12x^3+9x^2+16}+2\sqrt{x+3}}+\dfrac{4x^4-12x^3+9x^2-4x+4}{2x^2-3x+2\sqrt{x-1}}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(4x^3-4x^2+x-2\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{4x^4-12x^3+9x^2+16}+2\sqrt{x+3}}+\dfrac{1}{2x^2-3x+2\sqrt{x-1}}\right)=0\).

Do \(x\ge1\) nên ta có \(\dfrac{1}{\sqrt{4x^4-12x^3+9x^2+16}+2\sqrt{x+3}}+\dfrac{1}{2x^2-3x+2\sqrt{x-1}}>0\).

Do đó \(\left[{}\begin{matrix}x-2=0\Leftrightarrow x=2\left(TMĐK\right)\\4x^3-4x^2+x-2=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\).

Giải phương trình bậc 3 ở (1) ta được \(x=\dfrac{\sqrt[3]{36\sqrt{13}+53\sqrt{6}}}{\sqrt[6]{279936}}+\dfrac{1}{\sqrt[6]{7776}\sqrt[3]{36\sqrt{13}+53\sqrt{6}}}+\dfrac{1}{3}\approx1,157298106\left(TMĐK\right)\).

Vậy...

Vì trong bài làm của mình có một số dòng khá dài nên bạn có thể vào trang cá nhân của mình để đọc tốt hơn!

1/ Đặt \(\sqrt{x^2+2}=t>0\Rightarrow x^2=t^2-2\)

\(t^2-2+\left(3-t\right)x-1-2t=0\)

\(\Leftrightarrow t^2-2t-3-\left(t-3\right)x=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-3\right)\left(t+1\right)-\left(t-3\right)x=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-3\right)\left(t+1-x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t-3=0\\t+1-x=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=3\\t=x-1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x^2+2}=3\left(1\right)\\\sqrt{x^2+2}=x-1\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow x^2=7\Rightarrow x=\pm\sqrt{7}\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-1\ge0\\x^2+2=\left(x-1\right)^2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge1\\x^2+2=x^2-2x+1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=\dfrac{-1}{2}\left(l\right)\)

Vậy nghiệm pt là \(x=\pm\sqrt{7}\)

2/

\(x^2+3-6x\sqrt{x^2+3}+9x^2-\sqrt{x^2+3}+3x-2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x^2+3}-3x\right)^2-\left(\sqrt{x^2+3}-3x\right)-2=0\)

Đặt \(\sqrt{x^2+3}-3x=t\)

\(\Rightarrow t^2-t-2=0\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=-1\\t=2\end{matrix}\right.\)

TH1: \(\sqrt{x^2+3}-3x=-1\Rightarrow\sqrt{x^2+3}=3x-1\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x-1\ge0\\x^2+3=\left(3x-1\right)^2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge\dfrac{1}{3}\\8x^2-6x-2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=1\)

TH2: \(\sqrt{x^2+3}-3x=2\Leftrightarrow\sqrt{x^2+3}=3x+2\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge\dfrac{-2}{3}\\x^2+3=\left(3x+2\right)^2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge\dfrac{-2}{3}\\8x^2+12x+1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=\dfrac{-3+\sqrt{7}}{4}\)

3/ ĐKXĐ: \(\dfrac{3}{2}\le x\le\dfrac{5}{2}\)

\(1.\sqrt{2x-3}+1.\sqrt{5-2x}\le\sqrt{\left(1^2+1^2\right)\left(2x-3+5-2x\right)}=2\)

\(\Rightarrow VT\le2\)

\(VP=3\left(x^2-4x+4\right)+2=3\left(x-2\right)^2+2\ge2\)

\(\Rightarrow VT=VP\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2=0\\2x-3=5-2x\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=2\)

Vậy pt có nghiệm duy nhất \(x=2\)

4/

ĐKXĐ: \(x\ge\dfrac{-5}{4}\)

\(x^2-2x+1+4x+5-6\sqrt{4x+5}+9=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(\sqrt{4x+5}-3\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-1=0\\\sqrt{4x+5}-3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=1\)

Vậy pt có nghiệm duy nhất \(x=1\)

5/

\(\sqrt{2x^2+5x+12}+\sqrt{2x^2+3x+2}-\left(x+5\right)=0\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{2x^2+5x+12}=a>0\\\sqrt{2x^2+3x+2}=b>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a^2-b^2=2x+10=2\left(x+5\right)\)

\(\Rightarrow x+5=\dfrac{a^2-b^2}{2}\)

Phương trình đã cho trở thành:

\(a+b-\left(x+5\right)=0\) (1)

\(\Leftrightarrow a+b-\dfrac{a^2-b^2}{2}=0\Leftrightarrow2\left(a+b\right)-\left(a+b\right)\left(a-b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(2-a+b\right)=0\Rightarrow2-a+b=0\) (2) (do \(a+b>0\))

Từ (1), (2) có hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=x+5\\2-a+b=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow2b+2=x+5\Rightarrow2b=x+3\)

\(\Rightarrow2\sqrt{2x^2+3x+2}=x+3\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge-3\\4\left(2x^2+3x+2\right)=\left(x+3\right)^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge-3\\7x^2+6x-1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=\dfrac{1}{7}\end{matrix}\right.\)

Lời giải:

ĐK: $x\leq \frac{3}{2}$

Đặt $\sqrt{3-2x}=a(a\geq 0)$ thì $2x=3-a^2$

PT $\Leftrightarrow (2x+2)\sqrt{3-2x}=24x^2-20x$

$\Leftrightarrow (5-a^2)a=6(3-a^2)^2-10(3-a^2)$

$\Leftrightarrow 6a^4+a^3-26a^2-5a+24=0$

$\Leftrightarrow (a-1)(6a^3+7a^2-19a-24)=0$

$\Leftrightarrow (a-1)(2a+3)(3a^2-a-8)=0$

Vì $a\geq 0$ nên $a=1$ hoặc $a=\frac{1+\sqrt{97}}{6}$

Thay vào thu được $x=1$ hoặc $x=\frac{5-\sqrt{97}}{36}$