Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm GTNN của biểu thức:
P = \(\frac{1+a^3}{1+ab^2}\)+\(\frac{1+b^3}{1+bc^2}\)+\(\frac{1+c^3}{1+ca^2}\)
Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm GTNN của biểu thức:
P = \(\frac{1+a^3}{1+ab^2}+\frac{1+b^3}{1+bc^2}+\frac{1+c^3}{1+ca^2}\)
\(\left(1+a^3\right)\left(1+b^3\right)\left(1+b^3\right)\ge\left(1+ab^2\right)^3\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1+a^3}{1+ab^2}\ge\frac{\left(1+ab^2\right)^2}{\left(1+b^3\right)^2}\)
\(\Rightarrow\)\(3P\ge\Sigma\frac{\left(1+ab^2\right)^2}{\left(1+b^3\right)^2}+2\Sigma\frac{1+a^3}{1+ab^2}\ge9\sqrt[9]{\frac{\Pi\left(1+ab^2\right)^2}{\Pi\left(1+a^3\right)^2}\left(\frac{\Pi\left(1+a^3\right)}{\Pi\left(1+ab^2\right)}\right)^2}=9\)
\(\Rightarrow\)\(P\ge3\)
dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)
Cho a,b,c là các số thực dương thõa mãn ab+bc+ca=3.Tìm GTNN của biểu thức \(\frac{1+3a}{1+b^2}+\frac{1+3b}{1+c^2}+\frac{1+3c}{1+a^2}\)
\(VT=\frac{3a}{1+b^2}+\frac{3b}{1+c^2}+\frac{3c}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}+\frac{1}{1+a^2}\)
Ta tách VT=A+B và xét
\(A=\frac{3a}{1+b^2}+\frac{3b}{1+c^2}+\frac{3c}{1+a^2}=\text{∑}\left(3a-\frac{3ab^2}{1+b^2}\right)\ge\text{∑}\left(3a-\frac{3ab}{2}\right)\)
\(B=\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}+\frac{1}{1+a^2}=\text{∑}\left(1-\frac{b^2}{1+b^2}\right)\ge\text{∑}\left(1-\frac{b}{2}\right)\)
\(\Rightarrow VT=A+B=3+\frac{5}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{2}\text{∑}ab=\frac{5}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{2}\ge\frac{15}{2}-\frac{3}{2}=6\)
(Do \(a+b+c\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}=3\))
Dấu = khi a=b=c=1
Cho a,b,c là các số thực dương thõa mãn ab+bc+ca=3.Tìm GTNN của biểu thức
\(\frac{1+3a}{1+b^2}+\frac{1+3b}{1+c^2}+\frac{1+3c}{1+a^2}\)
\(VT=\frac{3a}{1+b^2}+\frac{3b}{1+c^2}+\frac{3c}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}+\frac{1}{1+a^2}\)
Ta tách VT = A + b và xét :
\(A=\frac{3a}{1+b^2}+\frac{3b}{1+c^2}+\frac{3c}{1+a^2}=\Sigma\left(3a-\frac{3ab^2}{1+b^2}\right)\ge\Sigma\left(3a-\frac{3ab}{2}\right)\)\(B=\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}+\frac{1}{1+a^2}=\Sigma\left(1-\frac{b^2}{1+b^2}\right)\ge\Sigma\left(1-\frac{b}{2}\right)\)
\(\Rightarrow VT=A+B=3+\frac{5}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{2}\Sigma ab=\frac{5}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{2}\ge\frac{15}{2}-\frac{3}{2}=6\)( Do \(a+b+c\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)=3}\))
Dấu = khi a = b = c = 1 .
Yuzuri Yukari:copy câu trả lời của tôi
Cho các số thực dương a,b,c. Tìm GTNN để biểu thức:
\(G=\frac{a^3+2}{ab+1}+\frac{b^3+2}{bc+1}+\frac{c^3+2}{ca+1}\)
Theo em nghĩ bài này ko thiếu điều kiện đâu cô quản lí ạ !!!
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
\(\left(ab+1\right)^2\le\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM, ta có:
\(a^2+1=a.a.1+1\le\frac{a^3+a^3+1}{3}+1=\frac{2.\left(a^3+2\right)}{3}\)
\(b^2+1=b.b.1+1\le\frac{b^3+b^3+1}{3}+1=\frac{2.\left(b^3+2\right)}{3}\)
Do đó:
\(\left(ab+1\right)^2\le\frac{4}{9}\left(a^3+2\right)\left(b^3+2\right)\)
\(\Rightarrow ab+1\le\frac{2}{3}\sqrt{\left(a^3+2\right)\left(b^3+2\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{a^3+2}{ab+1}\ge\frac{3}{2}.\sqrt{\frac{a^3+2}{b^3+2}}\) \(\left(1\right)\)
Tương tự, ta có:
\(\frac{b^3+2}{bc+1}\ge\frac{3}{2}.\sqrt{\frac{b^3+2}{c^3+2}}\) \(\left(2\right)\)
\(\frac{c^3+2}{ca+1}\ge\frac{3}{2}.\sqrt{\frac{c^3+2}{a^3+2}}\) \(\left(3\right)\)
Cộng theo vế của \(\left(1\right)\), \(\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\) và áp dụng BĐT AM-GM, ta có:
\(G\ge\frac{3}{2}\left(\sqrt{\frac{a^3+2}{b^3+2}}+\sqrt{\frac{b^3+2}{c^3+2}}+\sqrt{\frac{c^3+2}{a^3+2}}\right)\) \(\ge\frac{3}{2}.3\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a^3+2}{b^3+2}}.\sqrt{\frac{b^3+2}{c^3+2}}.\sqrt{\frac{c^3+2}{a^3+2}}}=\frac{9}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)
Vậy: \(G_{min}=\frac{9}{2}\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Nếu có thể thì cô Chi check xem nick Đinh Uyển Tình và Đông Phương Lạc có cùng địa chỉ máy tính không ạ??
Bạn Đông Phương Lạc tự đăng tự tl ko bt nhục à
@ Tuấn Lâm@ Hai bạn không cùng địa chỉ IP em nhé! Là bạn học tốt!
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ac = 3. Tìm GTNN của biểu thức P = \(\frac{1+3a}{1+b^2}+\frac{1+3b}{1+c^2}+\frac{1+3c}{1+a^2}\)
Ta có: \(\frac{1+3a}{1+b^2}=\left(1+3a\right).\frac{1}{1+b^2}=\left(1+3a\right)\left(1-\frac{b^2}{1+b^2}\right)\)
\(\ge\left(1+3a\right)\left(1-\frac{b^2}{2b}\right)=\left(1+3a\right)\left(1-\frac{b}{2}\right)\)
\(=3a+1-\frac{b}{2}-\frac{3ab}{2}\)(1)
Tương tự ta có: \(\frac{1+3b}{1+c^2}=3b+1-\frac{c}{2}-\frac{3bc}{2}\)(2); \(\frac{1+3c}{1+a^2}=3c+1-\frac{a}{2}-\frac{3ca}{2}\)(3)
Cộng theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được: \(\frac{1+3a}{1+b^2}+\frac{1+3b}{1+c^2}+\frac{1+3c}{1+a^2}\)\(\ge3\left(a+b+c\right)-\frac{a+b+c}{2}-\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2}+3\)
\(=\frac{5\left(a+b+c\right)}{2}-\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2}+3\)
\(\ge\frac{5.\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}}{2}-\frac{3.3}{2}+3=\frac{15}{2}-\frac{9}{2}+3=6\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
Xét các số thực dương a,b,c thoả mãn đk a+b+c=1
Tìm GTNN của biểu thức:
\(P=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\)
Áp dụng Bđt \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)ta có:
\(P\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\)
Lại có:
\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}\)
\(\ge\frac{9}{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)}=9\)
Mặt khác \(ab+bc+ca\le\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{ab+bc+ca}\ge3\)\(\Rightarrow P_{Min}=30\)
Dấu = khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Tìm GTNN của biểu thức M = \(\frac{1}{1-2\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{1}{abc}\), biết rằng a,b,c là 3 số thực dương có tổng bằng 1
\(M=\frac{1}{\left(a+b+c\right)^2-2ab-2bc-2ac}+\frac{a+b+c}{abc}\)
\(=\frac{1}{a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}\)
\(=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}>=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+ac+bc}\)(1)
\(=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+ac+bc}+\frac{1}{ab+ac+bc}+\frac{7}{ab+ac+bc}\)
\(>=\frac{9}{a^2+b^2+c^2+ab+ac+bc+ab+ac+bc}+\frac{7}{ab+ac+bc}\)
\(=\frac{9}{a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc}+\frac{7}{ab+ac+bc}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{7}{ab+ac+bc}\)
\(=9+\frac{7}{ab+ac+bc}\)(2)
\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc>=ab+ac+bc+2ab+2ac+2bc\)
\(=3ab+3ac+3bc\Rightarrow\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=\frac{1}{3}>=ab+ac+bc\)
\(\Rightarrow9+\frac{7}{ab+ac+bc}>=9+\frac{7}{\frac{1}{3}}=9+21=30\)(4)
từ (1)(2)(3)(4)\(\Rightarrow M=\frac{1}{1-2\left(ab+ac+bc\right)}+\frac{1}{abc}>=30\)
dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
vậy min M là 30 khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Bài 1: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa nãm a+b+c=1. Tìm GTNN của biểu thức
\(H=\frac{a+bc}{b+c}+\frac{b+ca}{c+a}+\frac{c+ab}{a+b}\)
Bài 2:Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn \(a^2-6ab-2b^2=0\)
Tính giá trị của biểu thức \(P=\frac{ab}{a^2+2b^2}\)
cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\le1\) 1 tìm GTNN của P = \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\)
Từ giả thiết và BĐT AM-GM suy ra:\(\sqrt[3]{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\)\(\ge\)3
Ta có:
P\(\ge\)\(\frac{2a^3}{3\left(a^2+b^2\right)}\)+\(\frac{2b^3}{3\left(c^2+b^2\right)}\)+\(\frac{2c^3}{3\left(a^2+c^2\right)}\)
=\(\frac{2}{3}\)(\(\frac{a\left(a^2+b^2\right)-ab^2}{\left(a^2+b^2\right)}\)+\(\frac{b\left(c^2+b^2\right)-bc^2}{\left(c^2+b^2\right)}\)+\(\frac{a\left(a^2+c^2\right)-ca^2}{\left(a^2+c^2\right)}\))
=\(\frac{2}{3}\)(a+b+c-\(\frac{ab^2}{\left(a^2+b^2\right)}\)-\(\frac{bc^2}{\left(c^2+b^2\right)}\)-\(\frac{ca^2}{\left(a^2+c^2\right)}\))
\(\ge\)\(\frac{2}{3}\)(a+b+c-\(\frac{a}{2}\)-\(\frac{b}{2}\)-\(\frac{c}{2}\))
=\(\frac{2}{3}\).\(\frac{a+b+c}{2}\)=\(\frac{a+b+c}{3}\)=\(\frac{\left(a+1\right)+\left(b+1\right)+\left(c+1\right)}{3}\)-1
\(\ge\)\(\frac{3\sqrt[3]{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}{3}\)-1\(\ge\)2
Vậy:MinP=2 khi a=b=c=2
cách này dễ hiểu hơn nè :
Áp dụng BĐT : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)
Ta có : \(1\ge\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\ge\frac{9}{a+b+c+3}\)
\(\Leftrightarrow1\ge\frac{9}{a+b+c+3}\)\(\Leftrightarrow a+b+c+3\ge9\)\(\Leftrightarrow a+b+c\ge6\)
\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}=\frac{a\left(a^2+ab+b^2\right)-ab^2-a^2b}{a^2+ab+b^2}=a-\frac{ab^2+a^2b}{a^2+ab+b^2}\ge a-\frac{ab\left(a+b\right)}{3ab}=a-\frac{a+b}{3}\)
Tương tự : \(\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}\ge b-\frac{b+c}{3}\); \(\frac{c^3}{c^2+ac+a^2}\ge c-\frac{a+c}{3}\)
Cộng cả 3 vế , ta được : \(P\ge a+b+c-\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}=\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\ge\frac{1}{3}.6=2\)
Vậy GTNN của P là 2 \(\Leftrightarrow a=b=c=2\)