Đặt \(x^2=t\ge0\) pt trở thành: \(t^2+\left(1-2m\right)t+m^2-1=0\) (1)

\(\Delta=\left(1-2m\right)^2-4\left(m^2-1\right)=-4m+5\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}t_1+t_2=2m-1\\t_1t_2=m^2-1\end{matrix}\right.\)

Từ \(x^2=t\) (2) ta có nhận xét: nếu \(t< 0\) thì (2) vô nghiệm, nếu \(t=0\) thì (2) có đúng 1 nghiệm \(x=0\), nếu \(t>0\) thì (2) có 2 nghiệm phân biệt \(x=\pm\sqrt{t}\)

Do đó:

a.

Phương trình đã cho vô nghiệm khi: (1) vô nghiệm hoặc (1) có 2 nghiệm đều âm

TH1: (1) vô nghiệm \(\Rightarrow-4m+5< 0\Rightarrow m>\dfrac{5}{4}\)

TH2: (1) có 2 nghiệm đều âm \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-4m+5\ge0\\t_1+t_2=2m-1< 0\\t_1t_2=m^2-1>0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\le\dfrac{5}{4}\\m< \dfrac{1}{2}\\\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m< -1\)

Kết hợp lại ta được: \(\left[{}\begin{matrix}m>\dfrac{5}{4}\\m< -1\end{matrix}\right.\)

b.

Pt có 2 nghiệm pb khi và chỉ khi (1) có đúng 2 nghiệm trái dấu (khi đó nghiệm dương của t sẽ cho 2 nghiệm x và nghiệm âm ko cho nghiệm x nào)

\(\Rightarrow t_1t_2=m^2-1< 0\Rightarrow-1< m< 1\)

c.

Pt có 3 nghiệm pb khi và chỉ khi (1) có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-4m+5>0\\t_1+t_2=2m-1>0\\t_1t_2=m^2-1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{5}{4}\\m>\dfrac{1}{2}\\\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=-1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m=1\)

d.

Pt có 4 nghiệm pb khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm dương pb

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-4m+5>0\\t_1+t_2=2m-1>0\\t_1t_2=m^2-1>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{5}{4}\\m>\dfrac{1}{2}\\\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow1< m< \dfrac{5}{4}\)

a: \(\Leftrightarrow\left(2m+1\right)^2-4\left(m^2-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2+4m+1-4m^2+12=0\)

=>4m=-13

hay m=-13/4

c: \(\Leftrightarrow\left(2m-2\right)^2-4m^2>=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-8m+4-4m^2>=0\)

=>-8m>=-4

hay m<=1/2

ĐK; \(-1\le x\le3\)

Đặt \(\sqrt{-x^2+2x+3}=t\left(0\le t\le2\right)\)

\(pt\Leftrightarrow m+1=-x^2+2x+3+4\sqrt{-x^2+2x+3}\)

\(\Leftrightarrow m+1=f\left(t\right)=t^2+4t\)

\(f\left(0\right)=0;f\left(2\right)=12\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(minf\left(t\right)\le m+1\le maxf\left(t\right)\)

\(\Leftrightarrow0\le m+1\le12\)

\(\Leftrightarrow-1\le m\le11\)

\(x^4+4x^3+4x^2-4mx^2-8mx+3m+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+2x\right)^2-4m\left(x^2+2x\right)+3m+1=0\)

Đặt \(x^2+2x=t\ge-1\)

\(\Rightarrow f\left(t\right)=t^2-4m.t+3m+1=0\) (1)

\(\Delta'=4m^2-3m-1\ge0\Rightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}m\ge1\\m\le-\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\)

Khi đó (1) có 2 nghiệm thỏa mãn \(t_1\le t_2< -1\) khi

 \(\left\{{}\begin{matrix}f\left(-1\right)>0\\\dfrac{t_1+t_2}{2}< -1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}7m+2>0\\2m< -1\end{matrix}\right.\) (ko tồn tại m thỏa mãn)

\(\Rightarrow\) (1) luôn có ít nhất 1 nghiệm không nhỏ hơn -1

\(\Rightarrow\) Pt đã cho có nghiệm khi \(\left[{}\begin{matrix}m\ge1\\m\le-\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\)

b) Thay x=2 vào pt, ta được:

\(4\left(m^2-1\right)-4m+m^2+m+4=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-4-4m+m^2+m+4=0\)

\(\Leftrightarrow5m^2-3m=0\)

\(\Leftrightarrow m\left(5m-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\m=\dfrac{3}{5}\end{matrix}\right.\)

Áp dụng hệ thức Vi-et, ta được:

\(x_1+x_2=\dfrac{2m}{m^2-1}\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_2+2=0\\x_2+2=\dfrac{6}{5}:\left(\dfrac{36}{25}-1\right)=\dfrac{30}{11}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_2=-2\\x_2=\dfrac{8}{11}\end{matrix}\right.\)

\(a,\Leftrightarrow\Delta'\ge0\\ \Leftrightarrow\left(m+2\right)^2-\left(m^2-4\right)\ge0\\ \Leftrightarrow m^2+4m+4-m^2+4\ge0\\ \Leftrightarrow4m+8\ge0\\ \Leftrightarrow m\ge-2\\ b,\Leftrightarrow\Delta'=0\Leftrightarrow m=-2\)

1.

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta=25-12m>0\\x_1^2+x_2^2< 17\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{25}{12}\\\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2< 17\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{25}{12}\\\left(2m-3\right)^2-2\left(m^2-4\right)< 17\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{25}{12}\\2m^2-12m< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow0< m< \dfrac{25}{12}\)

3.

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=11-m>0\\x_1+x_2>0\\x_1x_2>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 11\\6>0\\m-2>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow2< m< 11\)

- Với \(m=2\) BPT luôn có nghiệm

- Với \(m\ne2\) BPT vô nghiệm khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}m-2< 0\\\Delta'=\left(m+1\right)^2-2m\left(m-2\right)\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 2\\-m^2+6m+1\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m\le3-\sqrt{10}\)