xy + 2x + y - 1 = 0

<=> x(y + 2) + (y + 2) = 3

<=> (x + 1)(y + 2) = 3 = 1.3 = (-1).(-3)

Lập bảng:

Vậy ....

xy+2x+y-1=0

<=> x(y+2)+(y+2)=3

<=> (y+2)(x+1)=3

x,y nguyên => y+2; x+1 nguyên

=> y+2;x+1\(\inƯ\left(3\right)=\left\{-3;-1;1;3\right\}\)

Ta có bảng

Vậy (x;y)={(-4;-3);(-2;-5);(0;1);(2;-1)}

Ta có: xy - 2x + y + 1 = 0

=> x(y - 2) + (y - 2)  = -3

=> (x + 1)(y - 2) = -3

=> x + 1; y - 2 \(\in\)Ư(-3) = {1; -1; 3; -3}

Lập bảng: 

Vậy ...

x.y - 2x + y + 1 = 0
<=>x(y-2) + (y-2) =-3
<=> (y-2)(x+1)=-3
th1: y-2 =1 ; x+1=-3
<=> x=-4 ; y=3
th2 y-2 =-1 ; x+1 =3
<=> y=1 ; x=2
th3 y-2 =3 ; x+1=-1
<=> y=5 ; x=-2
th4 y-2 =-3; x+1 = 1
<=> y=-1 ; x=0

\(xy-2x+y=1\)

\(\Leftrightarrow x\left(y-2\right)+\left(y-2\right)=-1\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(y-2\right)=-1\)

Ta có bảng sau:

Vậy ta tìm được các cặp số \(\left(0;1\right);\left(-2;3\right)\) thỏa yêu cầu bài toán.

                xy=x+y

nên :        xy-(x+y)=0

               xy-x-y    =0

               x(y-1)-y  =0 suy ra x(y-1)-(y-1)=1

                (x-1)(y-1)=1 

ta có

x=0 , y=0

x=2 , y=2

(x,y) thuộc (0,0);(2,2)

x².(y+1) + y = 30

x². (y+1) + (y+1) = 29

(y+1).(x²+1) = 29 = 1 . 29 = 29 . 1

hong biet lam

mình chỉ biết x=3,857142857 

Lời giải:

$xy-2x+y=1$

$(xy-2x)+y=1$

$x(y-2)+(y-2)=-1$

$(x+1)(y-2)=-1$
Vì $x,y$ nguyên nên $x+1, y-2$ cũng là số nguyên. Mà $(x+1)(y-2)=-1$ nên ta có các TH sau:

TH1: $x+1=1, y-2=-1\Rightarrow x=0; y=1$ (thỏa mãn) 

TH2: $x+1=-1, y-2=1\Rightarrow x=-2; y=3$ (thỏa mãn)

Ta có:

\(xy-2x+y=1\)

\(\Rightarrow\left(xy-2x\right)+y=1\)

\(\Rightarrow x\left(y-2\right)+\left(y-2\right)=-1\)

\(\Rightarrow\left(x+1\right)\left(y-2\right)=-1\)

Vì \(x;y\inℤ\Rightarrow x+1;y-2\inℤ\) và \(x+1;y-2\inƯ\left(-1\right)=\left\{\pm1\right\}\)

Ta có bảng sau:

Vậy \(\left(x;y\right)\in\left\{\left(0;1\right),\left(-2;3\right)\right\}\)

Giả sử (x;y) là cặp số nguyên dương cần tìm. Khi đó ta có: 
(xy-1) I (x^3+x) => (xy-1) I x.(x^2+1) (1) 
Do (x; xy-1) =1 ( Thật vậy: gọi (x;xy-1) =d => d I x => d I xy => d I 1). 
Nên từ (1) ta có: 
(xy-1) I (x^2+1) 
=> (xy-1) I (x^2+1+xy -1) => (xy-1) I (x^2+xy) => (xy-1) I x.(x+y) => (xy-1) I (x+y) 
Điều đó có nghĩa là tồn tại z ∈ N* sao cho: 
x+y = z(xy-1) <=> x+y+z =xyz (2) 

[Đây lại có vẻ là 1 bài toán khác] 
Do vai trò bình đẳng nên ta giả sử: x ≥ y ≥ z. 
Từ (2) ta có: x+y+z ≤ 3x => 3x ≥ xyz => 3 ≥ yz ≥ z^2 => z=1 
=> 3 ≥ y => y ∈ {1;2;3} 
Nếu y=1: x+2 =x (loại) 
Nếu y=2: (2) trở thành x+3 =2x => x=3 
Nếu y=3: x+4 = 3x => x=2 (loại vì ta có x≥y) 
Vậy khi x ≥ y ≥ z thì (2) có 1 nghiệm (x;y;z) là (3;2;1) 
Hoán vị vòng quanh được 6 nghiệm là: .....[bạn tự viết nhé] 

Vậy bài toán đã cho có 6 nghiệm (x;y) là : .... [viết y chang nhưng bỏ z đi]

 Giả sử (x;y) là cặp số nguyên dương cần tìm. Khi đó ta có: 
(xy-1) I (x^3+x) => (xy-1) I x.(x^2+1) (1) 
Do (x; xy-1) =1 ( Thật vậy: gọi (x;xy-1) =d => d I x => d I xy => d I 1).
Nên từ (1) ta có: 
(xy-1) I (x^2+1) 
=> (xy-1) I (x^2+1+xy -1) => (xy-1) I (x^2+xy) => (xy-1) I x.(x+y) => (xy-1) I (x+y) 
Điều đó có nghĩa là tồn tại z ∈ N* sao cho: 
x+y = z(xy-1) <=> x+y+z =xyz (2) 

[Đây lại có vẻ là 1 bài toán khác] 
Do vai trò bình đẳng nên ta giả sử: x ≥ y ≥ z. 
Từ (2) ta có: x+y+z ≤ 3x => 3x ≥ xyz => 3 ≥ yz ≥ z^2 => z=1 
=> 3 ≥ y => y ∈ {1;2;3} 
Nếu y=1: x+2 =x (loại) 
Nếu y=2: (2) trở thành x+3 =2x => x=3 
Nếu y=3: x+4 = 3x => x=2 (loại vì ta có x≥y) 
Vậy khi x ≥ y ≥ z thì (2) có 1 nghiệm (x;y;z) là (3;2;1) 
Hoán vị vòng quanh được 6 nghiệm là: .....[bạn tự viết nhé] 

Vậy bài toán đã cho có 6 nghiệm (x;y) là : .... [viết y chang nhưng bỏ z đi]

Xét x= 1 => \(\dfrac{2}{y-1}\in\mathbb N\), từ đó có \(y=2\vee y=3\)

Xét y=1 => \(\dfrac{x^3+x}{x-1}=x^2+x+2+\dfrac{2}{x-1}\in\mathbb N\), từ đó có \(x=2\vee x=3\)

Xét \(x\ge 2\) hoặc \(y\ge 2\) . Ta có : \((x,xy-1)=1\). Do đó :

\(xy-1|x^3+x\Rightarrow xy-1|x^2+1\Rightarrow xy-1|x+y\)

=> \(x+y\ge xy-1\Rightarrow (x-1)(y-1)\le 2\). Từ đó có \((x-1)(y-1)=1\ \vee (x-1)(y-1)=2\) 

=> x = y = 2 ( loại ) hoặc x = 2 ; y = 3 hoặc x = 3 ; y= 2

Vậy các cặp số ( x;y ) thỏa mãn là (1;2),(2;1),(1;3),(3;1),(2;3),(3;2)