Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O;R) sao cho tia BA và CD cắt nhau tại I, tia DA và CB cắt nhau tại K (I,K) nằm ngoài (O) .Phân giác của góc BIC cắt AD,BC lần lượt tại Q,N. Phân giác của góc AKB cắt AB, CD lần lượt tại M,P

a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi

b) Gọi giao điểm 2 đường chéo của MNPQ là G. Chứng minh tam giác IGC đồng dạng tam giác IDG và IK² = ID.IC + KB.KC

c) Gọi F là trung điểm AB, J là hình chiếu của F trên OB. L là trung điểm của FJ chứng minh AL vuông góc OL

Cho hình vuông ABCD. E di động trên đoạn CD (E  khác C, D). Tia AE cắt đường thẳng BC tại F, tia Ax vuông góc vói AE tại A cắt đường thẳng DC tại K. Chứng minh:

a,  C A F ^ = C K F ^

b, Tam giác KAF vuông cân

c, Đường thẳng BD đi qua trung điểm I của KF

d, Tứ giác IMCF nội tiếp với M là giao điểm của BD và AE

cho tam giác ABC vuông tại C (AC<BC). vẽ tia phân giác Ax của góc BAC cắt cạnh BC tại I. qua B vẽ đường vuông góc với tia Ax và cắt tia Ax tại H.
a) chứng minh tam giác AIC đồng dạng với tam giác BHI.
b) cho AC=15cm,AB=25cm. tính độ dài các cạnh CB, Ci ?
c) chứng minh HB^2 =Hi.HA
d) gọi k là trung điểm của cạnh AB. qua i vẽ đường thẳng vuông góc với iK và cắt hai cạnh AC và BH lần lượt tại M và N chứng minh i là trung điểm của MN

Bài 13: Qua đỉnh A của hình vuông ABCD ta kẻ hai đường thẳng Ax, Ay vuông góc
với nhau. Ax cắt cạnh BC tại điểm P và cắt tia đối của tia CD tại điểm Q. Ay cắt tia
đối của tia BC tại điểm R và cắt tia đối của tia DC tại điểm S.
a) Chứng minh các tam giác APS, AQR là các tam giác cân.
b) Gọi H là giao điểm của QR và PS; M, N theo thứ tự là trung điểm của QR, PS.
Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật.
Bài 14: Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA,
AD.
a) Tứ giác MNPQ là hình gì?
b) Gọi M là trung điểm của DB, AD=6, AB=8. Cho AM=1/2DB
. Tính QM.
Bài 15: Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC.
a) Tứ giác BMNC là hình gì? Vì sao?
b) Lấy điểm E đối xứng với M qua N. Chứng minh tứ giác AECM là hình bình
hành.
c) Tứ giác BMEC là hình gì? Vì sao?
d) Tam giác ABC cần thêm điều kiện gì thì tứ giác AECM là hình vuông? Vẽ
hình minh hoạ.

1) Cho hình thang ABCD (AB//CD). Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AD, BC. Đường thẳng EF cắt BD, AC tại I, K theo thứ tự E,I,K,F.

a)Chứng minh: Tứ giác DIKC,AIKB là hình thang ?  

b) Chứng minh: IE=KF và IK = CD - AB chia 2 ?  

2)Cho điểm Ô là trung điểm của đoạn AD, trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thảng AD vẽ 2 tia Ax,Dy cung vuông góc với AD. từ điểm C trên tia Dy, vẽ góc OCB= góc OCD ( B thuộc Ax ).

a) Chứng minh: Tứ giấcBCD là hình thang vuông ?

b) Chứng minh: tam giác BỌC là tam giác vuông ?

c) Chứng minh: BC = AB + CD