Chọn C

Hàm số f(x) =  2 x 2 + m x + 2 3 2   xác định với mọi  x ∈ ℝ  

Vì m nguyên nên 

Vậy có tất cả 7 giá trị m thỏa mãn điều kiện đề bài.

2:

a: Thay x=1 vào (P), ta được:

\(y=\dfrac{1^2}{2}=\dfrac{1}{2}\)

Thay x=1 và y=1/2 vào (D), ta được:

\(m-1=\dfrac{1}{2}\)

hay m=3/2

b: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(\dfrac{1}{2}x^2+x-m=0\)

\(\text{Δ}=1^2-4\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\left(-m\right)=2m+1\)

Để (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì 2m+1>0

hay m>-1/2

c: Để (D) tiếp xúc với (P) thì 2m+1=0

hay m=-1/2

tìm ra đáp án chưa

Đc rồi chỉ mình với

Bài 3: 

a: \(\Leftrightarrow\left(x+5\right)\left(x-3\right)=\left(x+1\right)\left(x-1\right)-8\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x-15=x^2-1-8=x^2-9\)

=>2x=6

hay x=3(loại)

b: \(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)-\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}{\left(x^2-x+1\right)\left(x^2+x+1\right)}=\dfrac{3}{x\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow x\left(x^3+1-x^3+1\right)=3\)

=>2x=3

hay x=3/2

1.

\(\Delta=m^2-4\left(2m-5\right)=\left(m-4\right)^2+4>0;\forall m\)

Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=2m-5\end{matrix}\right.\)

Để biểu thức đề bài xác định \(\Rightarrow m\ne-2\)

\(A=\frac{x_1x_2}{x_1+x_2+2}=\frac{2m-5}{m+2}=2-\frac{9}{m+2}\)

\(A\in Z\Rightarrow\frac{9}{m+2}\in Z\Rightarrow m+2=Ư\left(9\right)\)

\(\Rightarrow m+2=\left\{-9;-3;-1;1;3;9\right\}\)

\(\Rightarrow m=\left\{-11;-5;-3;-1;1;7\right\}\)

2.

Hệ pt tọa độ giao điểm A của d1 và d2: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=2\\-2x+y=-1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A\left(1;1\right)\)

Để 3 đường thẳng đồng quy \(\Leftrightarrow\) d qua A

\(\Leftrightarrow1=\left(m-2\right).1+m+3\Rightarrow2m=0\Rightarrow m=0\)

b/ Gọi \(B\left(x;y\right)\) là điểm cố định mà d luôn đi qua

\(\Leftrightarrow y=\left(m-2\right)x+m+3\) ; \(\forall m\)

\(\Leftrightarrow m\left(x+1\right)+\left(-2x-y+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+1=0\\-2x-y+3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=5\end{matrix}\right.\)

Vậy d luôn đi qua \(B\left(-1;5\right)\)

Bài 1:
ĐKXĐ: \(1\leq x\leq 3\)

Ta có:

\(\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}=3x^2-4x-2\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{x-1}-1+\sqrt{3-x}-1=3x^2-4x-4\)

\(\Leftrightarrow \frac{x-2}{\sqrt{x-1}+1}+\frac{2-x}{\sqrt{3-x}+1}=(x-2)(3x+2)\)

\(\Leftrightarrow (x-2)\left(3x+2+\frac{1}{\sqrt{3-x}+1}-\frac{1}{\sqrt{x-1}+1}\right)=0(1)\)

Với mọi $1\leq x\leq 3$ ta luôn có \(3x+2\geq 5; \frac{1}{\sqrt{3-x}+1}>0; \frac{1}{\sqrt{x-1}+1}\leq 1\)

\(\Rightarrow 3x+2+\frac{1}{\sqrt{3-x}+1}-\frac{1}{\sqrt{x-1}+1}>0(2)\)

Từ (1);(2) suy ra \(x-2=0\Rightarrow x=2\)

Vậy $x=2$ là nghiệm duy nhất của pt đã cho.

Bài 2:

Với mọi $x,y,z$ nguyên không âm thì :

\(2014^z=2012^x+2013^y\geq 2012^0+2013^0=2\Rightarrow z\geq 1\)

Với $z\geq 1$ thì ta luôn có \(2012^x+2013^y=2014^z\) là số chẵn

Mà \(2013^y\) luôn lẻ nên \(2012^x\) phải lẻ. Điều này chỉ xảy ra khi $x=0$

Vậy $x=0$

Khi đó ta có: \(1+2013^y=2014^z\)

Nếu $z=1$ thì dễ thu được $y=1$

Nếu $z>1$:

Ta có: \(2014^z\vdots 4(1)\)

Mà \(2013\equiv 1\pmod 4\Rightarrow 1+2013^y\equiv 1+1\equiv 2\pmod 4\)

Tức \(1+2013^y\not\vdots 4\) (mâu thuẫn với (1))

Vậy PT có nghiệm duy nhất \((x,y,z)=(0,1,1)\)

Bài 3:

a)

Xét \(\Delta=(m+n)^2-4(m+1)=m^2+2m(n-2)+(n-2)(n+2)\)

\(=m^2+(n-2)(2m+n+2)\)

PT có nghiệm nguyên khi và chỉ khi $\Delta$ là số chính phương.

Mà \(\Delta=m^2+(n-2)(2m+n+2)\) là scp với mọi số nguyên $m$ khi và chỉ khi $n=2$

Do đó luôn có giá trị $n=2$ không đổi để pt đã cho có nghiệm nguyên với mọi số nguyên $m$.

b) Với $m\neq -1$ thì dễ thấy $x=0$ không phải nghiệm của pt

Theo hệ thức Vi-et, với $x_1,x_2$ là hai nghiệm nguyên của pt thì:

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=-(m+n)\\ x_1x_2=m+1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow (m+n)^2+m^2=(x_1+x_2)^2+(x_1x_2-1)^2=x_1^2+x_2^2+x_1^2x_2^2+1=(x_1^2+1)(x_2^2+1)\) là hợp số với mọi $x_i\neq 0$

Do đó ta có đpcm.