1. Cho tam giác ABC, 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng \(\frac{HB.HC}{AB.AC}+\frac{HC.HA}{BC.BA}+\frac{HA.HB}{CA.CB}=1\)
(gợi ý: đưa về \(\frac{Sbhc}{Sabc}+\frac{Sahc}{Sabc}+\frac{Sahb}{Sabc}=1\))
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:
a) Sabc = 1/2.AB.BC.sinB và AE.BF.CD = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC
b) tanB.tanC = AD/HD
c) H là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác DEF
d) HB.HC/AB.AC + HC.HA/BC.BA + HA.HB/CA.CB = 1
Mn ghi đầy đủ GT, KL với vẽ hình hộ mình nha
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:
a) Sabc = 1/2.AB.BC.sinB và AE.BF.CD = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC
b) tanB.tanC = AD/HD
c) H là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác DEF
d) HB.HC/AB.AC + HC.HA/BC.BA + HA.HB/CA.CB = 1
Cho tam giác ABC nhọn, H là trực tâm. CM:
a)\(\frac{HB.HC}{AB.AC}\)+\(\frac{HC.HA}{BC.BA}\)+\(\frac{HA.HB}{CA.CB}\)=1
b) \(\frac{BC}{AH}\)+\(\frac{AC}{HB}\)=\(\frac{AB}{FH}\)(AF là đường cao tam giác ABC)
Cho tam giác nhọn ABC có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Tính: \(\frac{HB.HC}{AB.AC}+\frac{HA.HC}{AC.BC}+\frac{HB.HA}{AB.BC}\)
cho tam giác ABC nhọn.Các đường cao AD,BE,CF .gọi H là trực tâm a) Tính N=\(\frac{HA.HB}{AC.BC}\)+\(\frac{HA.HC}{AB.BC}\)+\(\frac{HB.HC}{AB.AC}\)
Cho tam giác nhọn ABC có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. CMR:
\(\frac{HB.HC}{AB.AC}+\frac{HA.HC}{AC.BC}+\frac{HB.HA}{AB.BC}\)
Cho \(\Delta ABC\) có 3 đường phân giác \(AD,BE,CF\) cắt nhau tại \(I\). Chứng minh rằng: \(\frac{AI^2}{AB.AC}+\frac{BI^2}{BA.BC}+\frac{CI^2}{CA.CB}=1\)
Qua I vẽ đường thẳng vuông góc với CI cắt AC. BC lần lượt tại M, N. Khi đó CM=CN, IM=IN.
Ta chứng minh được \(\widehat{AIB}=180-\widehat{BAI}-\widehat{ABI}=180-\frac{BAC}{2}-\frac{ABC}{2}=\frac{360-\left(ABC+BÃC\right)}{2}\)
\(=\frac{360-180+ACB}{2}=90+\frac{ACB}{2}\)
\(AMI=180-CMN=180-\frac{180-ACB}{2}=\frac{360-180+ACB}{2}=90+\frac{ACB}{2}\)
Chứng minh tương tự ta cũng có: \(BNI=90+\frac{ACB}{2}\)
Từ đó suy ra: \(\Delta AIB\infty\Delta AMI\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{AI}{AM}=\frac{AB}{AI}\Rightarrow AI^2=AB.AM\Rightarrow\frac{AI^2}{AB.AC}=\frac{AM}{AC}\)
\(\Delta AIB\infty\Delta INB\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{BI}{IN}=\frac{AB}{BN}\Rightarrow BI^2=AB.BN\Rightarrow\frac{BI^2}{AB.BC}=\frac{BN}{BC}\)
\(\Delta AMI\infty\Delta INB\Rightarrow\frac{AM}{IN}=\frac{IM}{BN}\Rightarrow AM.BN=IM.IN=IM^2\)
Áp dụng định lí Py- ta-go vào tam gác ICM ta có:
\(IM^2+CI^2=CM^2\Rightarrow BN.AM+CI^2=CM.CN\Rightarrow BN.AM+CN.AM+CI^2=CM.CN+CN.AM\)
\(\Rightarrow BC.AM+CI^2=CN.AC\Rightarrow BC.AM+CI^2+AC.BN=CN.AC+AC.BN\)
\(\Rightarrow BC.AM+BN.AC+CI^2=AC.BC\Rightarrow\frac{AM}{AC}+\frac{BN}{BC}+\frac{CI^2}{AC.BC}=1\)
\(\Rightarrow\frac{AI^2}{AB.AC}+\frac{BI^2}{BA.BC}+\frac{CI^2}{CA.CB}=1\)
cho tam giác ABC nhọn các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H chứng minh rằng \(\frac{HD}{AD}+\frac{HE}{BE}+\frac{HF}{CF}=1\)
Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AA' , BB' , CC' và H là trực tâm .
CM : \(\frac{HB.HC}{AB.AC}+\frac{HA.HB}{BC.AC}+\frac{HC.HA}{BC.AB}=1\)
Ta có hình vẽ :
Xét tam giác BHC' và tam giác BAB' có : Góc B chung
Góc BC'H = góc BB'A ( = 90 độ )
=> Tam giác BHC' \(\sim\) Tam giác BAB' ( g.g )
=> \(\frac{HB}{AB}=\frac{BC'}{BB'}\)
\(\Rightarrow\frac{HB.HC}{AB.AC}=\frac{BC'.HC}{BB'.AC}=\frac{S_{BHC}}{S_{ABC}}\) ( 1 )
Tương tự : \(\frac{HA.HB}{BC.AC}=\frac{HA.A'B}{BC.AA'}=\frac{S_{AHB}}{S_{ABC}}\)
\(\frac{HC.HA}{BC.AB}=\frac{HC.AC'}{AB.CC'}=\frac{S_{AHC}}{S_{ABC}}\) ( 2 )
Từ ( 1 ) ; ( 2 ) => ĐPCM