Cho các số dương a,b,c,d,e. Chứng minh rằng: \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+e}+\frac{d}{e+a}+\frac{e}{a+b}\ge\frac{5}{2}\)
Cho các số dương a,b,c,d,e. Chứng minh bất đẳng thức:
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+e}+\frac{d}{e+a}+\frac{e}{a+b}\ge\frac{5}{2}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si :
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b+c}{4a}\ge2\sqrt{\frac{a\left(b+c\right)}{4a\left(b+c\right)}}=1\)
Tương tự với các phân thức còn lại, sau đó cộng theo vế ta được :
\(VT+\frac{b+c}{4a}+\frac{c+d}{4b}+\frac{d+e}{4c}+\frac{e+a}{4d}+\frac{a+b}{4e}\ge5\)
\(\Leftrightarrow VT\ge5-\frac{1}{4}\left(\frac{b+c}{a}+\frac{c+d}{b}+\frac{d+e}{c}+\frac{e+a}{d}+\frac{a+b}{e}\right)\)
\(=5-\frac{1}{4}\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{d}{b}+\frac{d}{c}+\frac{e}{c}+\frac{e}{d}+\frac{a}{d}+\frac{a}{e}+\frac{b}{e}\right)\)
\(\ge5-\frac{1}{4}\cdot10\sqrt[10]{\frac{b\cdot c\cdot c\cdot d\cdot d\cdot e\cdot e\cdot a\cdot a\cdot b}{a\cdot a\cdot b\cdot b\cdot c\cdot c\cdot d\cdot d\cdot e\cdot e}}=5-\frac{1}{4}\cdot10=\frac{5}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=d=e=1\)
Cho các số dương a, b,c, d, e. CMR:
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+e}+\frac{d}{e+a}+\frac{e}{a+b}\ge\frac{5}{2}\)
Cho a, b, c, d, e là các số đôi một nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng \(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{e}+\frac{e}{a}\right)\notin Z\)
Cho các số nguyên dương a<b<c<d<e<f. Chứng minh
\(\frac{a+c+e}{a+b+c+d+e+f}< \frac{1}{2}\)
Ta có: a < b => 2a < a + b (1)
c < d => 2c < c + d (2)
e < f => 2e < e + f (3)
Cộng ba vế (1),(2),(3) lại ta được:
2a + 2c + 2e < a + b + c + d + e + f
=> 2(a + c + e) < a + b + c + d + e + f
=> \(\frac{a+c+e}{a+b+c+d+e+f}< \frac{1}{2}\) (đpcm)
Cho
\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{d}{e}\)
Chứng minh rằng
\(\left(\frac{a+b+c+d}{b+c+d+e}\right)^4=\frac{a}{e}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{d}{e}=\frac{a+b+c+d}{b+c+d+e}\)
Đặt \(k=\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{d}{e}=\frac{a+b+c+d}{b+c+d+e}\)
\(\Rightarrow k^4=\left(\frac{a+b+c+d}{b+c+d+e}\right)^4=\frac{abcd}{bcde}=\frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow\left(\frac{a+b+c+d}{b+c+d+e}\right)^4=\frac{a}{e}\)(đpcm)
Cho 5 số dương a b c d e
CMR
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{e}>\frac{25}{a+b+c+d+e}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy- Schwartz ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{e}\ge\frac{\left(1+1+1+1+1\right)^2}{a+b+c+d+e}=\frac{25}{a+b+c+d+e}\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = d = e
Cho các số nguyên dương : a<bc<d<e<f.
Chứng minh rằng: \(\frac{a+c+e}{a+b+c+d+e+f}\) <\(\frac{1}{2}\)
Cho các số nguyên dương a<bc<d<e<f. Chứng minh \(\frac{a+c+e}{a+b+c+d+e+f}< \frac{1}{2}\)
\(\hept{\begin{cases}a< b\\c< d\\e< f\end{cases}}\Rightarrow a+c+e< b+d+f\)
\(\Rightarrow2\left(a+c+e\right)< a+b+c+d+e+f\)
=> dpcm
Ta có : \(a< b< c< d< e< f\)nên :
\(a+b+c+d+e+f>a+a+c+c+e+e=2\left(a+c+e\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a+c+e}{a+b+c+d+e+f}< \frac{a+c+e}{2\left(a+c+e\right)}=\frac{1}{2}\left(đpcm\right).\)
Đề là a> bc... Mà đâu phải a>b>.... đâu
Cho các số nguyên dương \(a,b,c,d,e,f\) biết :
\(\frac{a}{b}>\frac{c}{d}>\frac{e}{f}\) và \(af-be=1\)
Chứng minh : \(d\ge b+f\)
Lời giải:
Với $a,b,c,d,e,f\in\mathbb{Z}^+$ ta có:
$\frac{a}{b}>\frac{c}{d}\Rightarrow ad>bc\Leftrightarrow ad-bc>0$
Mà $ad,bc$ đều nguyên nên từ đây suy ra $ad-bc\geq 1(*)$
Tương tự:
$\frac{c}{d}>\frac{e}{f}\Rightarrow cf-ed\geq 1(**)$
Từ $(*); (**)$ suy ra:
$d=d(af-be)=daf-dbe=(daf-bcf)+(bcf-dbe)$
$=f(ad-bc)+b(cf-ed)\geq f.1+b.1$
Hay $d\geq b+f$ (đpcm)