-Lưu ý: Chỉ mang tính chất tóm tắt lại bài làm, bạn không nên trình bày theo!

a) △MNP vuông tại M \(\Rightarrow MN^2+MP^2=NP^2\Rightarrow NP^2=\sqrt{MN^2+MP^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\left(cm\right)\)

△MNP có: ND phân giác.\(\Rightarrow\dfrac{DM}{DP}=\dfrac{NM}{NP}\)

\(\Rightarrow\dfrac{DM}{NM}=\dfrac{DP}{NP}=\dfrac{DM+DP}{NM+NP}=\dfrac{MP}{NM+NP}\)

\(\Rightarrow DM=\dfrac{MP.NM}{NM+NP}=\dfrac{4.3}{3+5}=1,5\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow DP=\dfrac{MP.NP}{NM+NP}=\dfrac{4.5}{3+5}=2,5\left(cm\right)\)

b) △MNH∼△PNM (g-g) \(\Rightarrow\dfrac{MN}{PN}=\dfrac{NH}{NM}\)

△MNH có: NK phân giác \(\Rightarrow\dfrac{NH}{NM}=\dfrac{KH}{KM}=\dfrac{MN}{PN}=\dfrac{DM}{DP}\)

c) △MND∼HNK (g-g) \(\Rightarrow\widehat{MDN}=\widehat{HKN}=\widehat{MKD}\); \(\dfrac{NM}{NH}=\dfrac{ND}{NK}\Rightarrow NH.ND=NM.NK\)

\(\Rightarrow\)△MDK cân tại M

a) Xét ΔNME vuông tại N và ΔKME vuông tại K có 

ME chung

\(\widehat{NME}=\widehat{KME}\)(ME là tia phân giác của \(\widehat{NMK}\))

Do đó: ΔNME=ΔKME(Cạnh huyền-góc nhọn)

a) xét ΔNME VÀ ΔKME, CÓ

\(\widehat{NME}=\widehat{KME}\) (e là tia phân giác của góc M)

ME : CẠNH HUYỀN CHUNG

⇒ΔNME = ΔKME (CẠNH HUYỀN-GÓC NHỌN)

B) TA CÓ : MN=MK (ΔNME = ΔKME)

⇒TAM GIÁC MNK CÂN TẠI M

C) XÉT ΔNBE VÀ ΔKPE 

CÓ: \(\widehat{NEB}=\widehat{KEP}\) (ĐỐI  ĐỈNH )

NE=KE ( ΔNME=ΔKME)

\(\widehat{BNK}=\widehat{BKP}\) =90

⇒ΔNBE=ΔKPE (G-C-G)

⇒NB=KP (2 CẠNH TƯƠNG ỨNG)

TA CÓ : MB=MN+NB

              MP=MK+KP

MÀ ; MN=MK , NB=KP

VẬY : MB=MP

⇒ΔMBP CÂN TẠI M

TRONG ΔMNK CÂN TẠI M 

TA CÓ : \(\widehat{M}+\widehat{N}+\widehat{K}\)=180

MÀ : \(\widehat{N}=\widehat{K}\)

⇒\(\widehat{M}+\widehat{2N}=180\)

⇒\(\widehat{2N}=180-\widehat{M}\)

⇒\(\widehat{N}=\dfrac{180-\widehat{M}}{2}\)

TRONG ΔMBP CÂN TẠI M 

TA CÓ : \(\widehat{M}+\widehat{B}+\widehat{P}\)=180

MÀ \(\widehat{B}+\widehat{P}\)

⇒\(\widehat{M}+\widehat{2B}=180\)

⇒\(\widehat{2B}=180-\widehat{M}\)

⇒\(\widehat{B}=\dfrac{180-\widehat{M}}{2}\)

⇒\(\widehat{MNK}=\widehat{MBP}\) (ĐỒNG VỊ)

⇒NK//BP

a) xét \(\Delta MNP\)VUÔNG TẠI M CÓ

\(\Rightarrow NP^2=MN^2+MP^2\left(PYTAGO\right)\)

THAY\(NP^2=4^2+3^2\)

\(NP^2=16+9\)

\(NP^2=25\)

\(\Rightarrow NP=\sqrt{25}=5\left(cm\right)\)

XÉT \(\Delta MNP\)CÓ

\(\Rightarrow NP>MN>MP\left(5>4>3\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{M}>\widehat{P}>\widehat{N}\)( QUAN HỆ GIỮA CẠNH VÀ GÓC ĐỐI DIỆN)

B) xét \(\Delta\text{ CPM}\)VÀ\(\Delta\text{CPA}\)CÓ

 \(PM=PA\left(GT\right)\)

\(\widehat{MPC}=\widehat{APC}=90^o\)

PC LÀ CAH CHUNG 

=>\(\Delta\text{ CPM}\)=\(\Delta\text{CPA}\)(C-G-C)

c)

\(\Delta CPM=\Delta CPA\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{CMP}=\widehat{CPA}\left(\text{hai góc tương ứng}\right)\)

\(\text{Ta có: }\)\(\widehat{MNA}+\widehat{NAM}=90^o\left(\Delta MNA\perp\text{ tại M}\right)\)

             \(\widehat{NMC}+\widehat{CMP}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{MNA}+\widehat{NAM}=\)\(\widehat{NMC}+\widehat{CMP}\)

\(\Rightarrow\widehat{MNA}=\widehat{NMC}\left(\widehat{CMP}=\widehat{NAM}\right)\)

\(Hay:\)\(\widehat{MNC}=\widehat{NMC}\)

\(\Rightarrow\Delta NMC\text{ cân}\)

\(\Rightarrow CN=CM\left(đpcm\right)\)

d)\(\Delta AMC\)CÂN\(\Rightarrow AC=MC\)

    \(\Delta MCN\)CÂN\(\Rightarrow MC=CN\)

=> AC=CN 

=> AC LÀ TRUNG TUYẾN CỦA \(\Delta MAN\)

MÀ MP=AP => NP LÀ TRUNG TUYẾN CỦA\(\Delta MAN\)

HAI ĐƯOG TRUNG TUYẾN NÀY CẮT NHAU TẠI G 

=> G LÀ TROG TÂM CỦA \(\Delta MAN\)

\(\Rightarrow NG=\frac{2}{3}NP\)

THAY \(\Rightarrow NG=\frac{2}{3}.5=\frac{10}{3}\approx3,3\left(cm\right)\)