Vì a=1>0 nên để f(x) luôn dương <=> \(\Delta< 0\)

<=>[-(m+2)]²-4(8m+1)<0

<=>m²+4m+4-32m-4<0

<=>m²-28m<0 <=> 0<m<28

Vậy f(x) luôn dương khi m thuộc (0;28)

2: \(-4x^2+5x-2\)

\(=-4\left(x^2-\dfrac{5}{4}x+\dfrac{1}{2}\right)\)

\(=-4\left(x^2-2\cdot x\cdot\dfrac{5}{8}+\dfrac{25}{64}+\dfrac{7}{64}\right)\)

\(=-4\left(x-\dfrac{5}{8}\right)^2-\dfrac{7}{16}< =-\dfrac{7}{16}< 0\forall x\)

Sửa đề:\(f\left(x\right)=\dfrac{-x^2+4\left(m+1\right)x+1-4m^2}{-4x^2+5x-2}\)

Để f(x)>0 với mọi x thì \(\dfrac{-x^2+4\left(m+1\right)x+1-4m^2}{-4x^2+5x-2}>0\forall x\)

=>\(-x^2+4\left(m+1\right)x+1-4m^2< 0\forall x\)(1)

\(\text{Δ}=\left[\left(4m+4\right)\right]^2-4\cdot\left(-1\right)\left(1-4m^2\right)\)

\(=16m^2+32m+16+4\left(1-4m^2\right)\)

\(=32m+20\)

Để BĐT(1) luôn đúng với mọi x thì \(\left\{{}\begin{matrix}\text{Δ}< 0\\a< 0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}32m+20< 0\\-1< 0\left(đúng\right)\end{matrix}\right.\)

=>32m+20<0

=>32m<-20

=>\(m< -\dfrac{5}{8}\)

Trường hợp 1: m=3

=>f(x)=-2(3-2)x+3=-2x+3 không thể luôn luôn dương

=>Loại

Trường hợp 2: m<>3

\(\text{Δ}=\left(2m-4\right)^2-4m\left(m-3\right)\)

\(=4m^2-16m+16-4m^2+12m=-4m+16\)

Để f(x)>0 với mọi x thì \(\left\{{}\begin{matrix}-4m+16< 0\\m-3>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-4m< -16\\m>3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m>4\)