a²+b²+c²=4−abc≤4

S_max=4 khi 1 trong 3 số bằng 0

4=abc+a²+b²+c²≥abc+33√(abc)²

Đặt 3√abc=x>0⇒x³+3x²−4≤0

⇔(x−1)(x+2)²≤0⇒x≤1

⇒abc≤1⇒S=4−abc≥3

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

\(a^3+a^3+1\ge3\sqrt[3]{a^3.a^3.1}=3a^2\)

Tương tự: \(2b^3+1\ge3b^2\) ; \(2c^3+1\ge3c^2\)

\(\Rightarrow2\left(a^3+b^3+c^3\right)+3\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)=9\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\)

\(A_{min}=3\) khi \(a=b=c=1\)

Lại có: \(\left\{{}\begin{matrix}a;b;c\ge0\\a^2+b^2+c^2=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow0\le a;b;c\le\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow a^2\left(a-\sqrt{3}\right)\le0\Rightarrow a^3\le\sqrt{3}a^2\)

Tương tự: \(b^3\le\sqrt{3}b^2\) ; \(c^3\le\sqrt{3}c^2\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\le\sqrt{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)=3\sqrt{3}\)

\(A_{max}=3\sqrt{3}\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;\sqrt{3}\right)\) và các hoán vị

\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ca=\frac{\left(a+b+c\right)^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2}\ge\frac{0-1}{2}=-\frac{1}{2}\)

Dấu \(=\)khi \(\hept{\begin{cases}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2=1\end{cases}}\), chẳng hạn \(c=0,a=-b=\sqrt{\frac{1}{2}}\). 

Ta có : \(1\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{1+2\left(ab+bc+ca\right)}{3}\)

\(< =>ab+bc+ca\le1\)

Dấu "=" tự tìm nhaaaaa

Ta có: \(x+a+b+c=7\Rightarrow a+b+c=7-x\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=\left(7-x\right)^2\). Lại có BĐT 

\(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\) (theo C-S hay Am-Gm đều dc...)

\(\Rightarrow\left(7-x\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Rightarrow x^2-14x+49\le3\left(13-x^2\right)\left(a^2+b^2+c^2=13-x^2\right)\)

\(\Rightarrow4x^2-14x+10\le0\Rightarrow\left(x-1\right)\left(x-2,5\right)\le0\)

\(\Rightarrow x_{min}\ge1;x_{max}\le2,5\)

http://imgur.com/a/QxeeS
Đã full tại đây (:
 

Áp dụng BĐT Mincopxki:

\(P\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+2\left(a+b+c\right)^2}=\sqrt{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

Lại có do \(a;b;c\ge0\) nên:

\(a^2+2b^2\le a^2+2\sqrt{2}ab+2b^2=\left(a+\sqrt{2}b\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{a^2+2b^2}\le a+\sqrt{2}b\)

Tương tự và cộng lại:

\(\Rightarrow P\le\left(\sqrt{2}+1\right)\left(a+b+c\right)=\sqrt{2}+1\)

Dấu "=" xảy ra tại \(\left(a;b;c\right)=\left(1;0;0\right)\) và các hoán vị

\(a;b\ge0\Rightarrow ab\ge0\)

\(\Rightarrow a^2+2b^2+2\sqrt{2}ab\ge a^2+2b^2\)

Chuyên gia sao lại đi hỏi ^{( nghĩ chuyên gia phải cái gì cũng biết mà ??? )}

Ta có: \(\left(a+b+c\right)^2\ge0\)

     <=>\(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)

     <=>\(1+2\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)

     <=>\(ab+bc+ca\ge\dfrac{-1}{2}\)

     hay P\(\ge\dfrac{-1}{2}\)

Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho 3 số thực dương ta có :

\(a^2b+b^2c+c^2a\ge3\sqrt[3]{a^2bb^2cc^2a}=3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abc\)

Khi đó :\(P\ge3abc=\left(a+b+c\right)\left(abc\right)\)

...