\(\cos2A+\cos2B+\cos2C=-1\)

\(\Leftrightarrow\cos2A+\cos2B+\cos2C+1=0\)

\(\Leftrightarrow2\cos\left(A+B\right)\cos\left(A-B\right)+2\cos^2C=0\)

\(\Leftrightarrow2\cos\left(180^0-C\right)\cos\left(A-B\right)+2\cos^2C=0\)

\(\Leftrightarrow-2\cos C\cos\left(A-B\right)+2\cos^2C=0\)

\(\Leftrightarrow-2\cos C(\cos\left(A-B\right)-\cos C)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\cos C=0\\\cos\left(A-B\right)=\cos C\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}C=90^0\\A-B=C\\A-B=-C\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}C=90^0\\A=B+C\\A+C=B\end{matrix}\right.\)

Nếu \(A=B+C\Rightarrow A=B+C=\dfrac{180^o}{2}=90^o\) Tam giác ABC vuông tại A.

Nếu \(B=A+C\Rightarrow B=A+C=\dfrac{180^o}{2}=90^o\) Tam giác ABC vuông tại B.

Vậy, nếu \(\cos2A+\cos2B+\cos2C=-1\) thì tam giác ABC là tam giác vuông.

a. Ta có : \(\frac{S_{AEF}}{S_{ABE}}=\frac{AF}{AB};\frac{S_{AEB}}{S_{ABC}}=\frac{AE}{AC}\)

Như vậy \(\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\frac{AF}{AB}.\frac{AE}{AC}=\frac{AE}{AB}.\frac{AF}{AC}=cosA.cosA=cos^2A.\)

Từ đó ta có : \(S_{AEF}=S_{ABC}.cos^2A\)

b. Tương tự phần a ta có : \(S_{BEF}=S_{ABC}.cos^2B\); \(S_{CEF}=S_{ABC}.cos^2C\)

Như vậy \(S_{DEF}=S_{ABC}-S_{AEF}-S_{BEF}-S_{CEF}\)

Từ đó ta có: \(\frac{S_{DEF}}{S_{ABC}}=1-\left(cos^2A+cos^2B+cos^2C\right)\)

Chúc em học tốt :)))

minh k bit

\(\Leftrightarrow\frac{S_{HIK}}{S_{ABC}}=1-\cos^2A-\cos^2B-\cos^2C\)

-Ta có: tam giác AIB vuông tại I \(\Rightarrow\cos A=\frac{AI}{AB}\)

Tam giác ACK vuông tại K \(\Rightarrow\cos A=\frac{AK}{AC}\)

\(\Rightarrow\cos^2A=\frac{AI}{AB}.\frac{AK}{AC}=\frac{\frac{1}{2}AI.AK}{\frac{1}{2}AB.AC}=\frac{\frac{1}{2}AI.AK.\cos A}{\frac{1}{2}AB.AC.\cos A}=\frac{S_{AKI}}{S_{ABC}}\)

Tương tự: \(\cos^2B=\frac{S_{BHK}}{S_{ABC}};\text{ }\cos^2C=\frac{S_{CIH}}{S_{ABC}}\)

\(\Rightarrow1-\cos^2A-\cos^2B-\cos^2C=\frac{S_{ABC}-S_{AKI}-S_{BHK}-S_{CIH}}{S_{ABC}}=\frac{S_{HIK}}{S_{ABC}}\text{ (đpcm)}\)