Áp dụng BĐT tam giác cho các tam giác OAB, OBC, OCD, ODA ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}OA+OB>AB\\OB+OC>BC\\OC+OD>CD\\AO+OD>AD\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow OA+OB+OB+OC+OC+OD+OA+OD>AB+BC+CD+AD\)

\(\Rightarrow2\left(AC+BD\right)>\left(AB+BC+CD+DA\right)\)

\(\Rightarrow AC+BD>\dfrac{AB+BC+CD+DA}{2}\)

Tương tự, áp dụng BĐT tam giác cho các tam giác ABC,BCD, CDA, DAB ta có: \(AB+BC>AC;BC+CD>BD;CD+DA>AC;DA+AB>BD\)

Cộng vế với vế:

\(2\left(AB+BC+CD+DA\right)>2\left(AC+BD\right)\)

\(\Leftrightarrow AC+BD< AB+BC+CD+DA\)

a: Xét ΔMNP có

D là trung điểm của NP

E là trung điểm của PM

Do đó: DE là đường trung bình

=>DE//MN và DE=MN/2

=>DE//MF và DE=MF

=>MEDF là hình bình hành

Suy ra: MD cắt EF tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm chung của MD và FE

b: XétΔDEF và ΔMFE có

DE=MF

EF chung

DF=ME

Do đó: ΔDEF=ΔMFE

Xét ΔMNP có 

F là trung điểm của MN

E là trung điểm của MP

Do đó:FE là đường trung bình

=>FE//NP

=>ΔMFE đồng dạng với ΔMNP

\(\Leftrightarrow C_{MNP}=\dfrac{MF}{MN}\cdot C_{MFE}=2\cdot C_{DEF}=24\left(cm\right)\)

Gọi O là giao điểm 2 dường chéo AC và BD của tứ giác ABCD. 
Áp dụng định lý " trong một tam giác một cạnh thì bé hơn tổng 2 cạnh kia" ta có: 
AB < OA + OB (1) 
BC < OB + OC (2) 
CD < OC + OD (3) 
DA < OD + OA (4) 
(1) + (2) + (3) + (4) : 
AB + BC + CD + DA < 2(OA + OC + OB + OD) = 2(AC + BD) 
hay (1/2)(AB + BC + CD + DA) < AC + BD (*) 
Mặt khác : 
AC < AB + BC (1') 
BD < BC + CD (2') 
AC < CD + DA (3') 
BD < DA + AB (4') 
(1') + (2') + (3') + (4') : 
2(AC + BD) > 2(AB + BC + CD + DA) 
hay AC + BD < AB + BC + CD + DA (**) 
Từ (*) và (**) (1/2)(AB + BC + CD + DA) < AC + BD < AB + BC + CD + DA

Giả sử tứ giác ABCD có: AB=a,BC=b,CD=c,DA=d.

Gọi O là giao điểm của AC và BD ta có:

AC+BD=AO+OB+OC+OD>AB+CD=a+c

Tương tự: AC+BD>b+d.

Suy ra: 2(AC+BD)>a+b+c+d⇒AC+BD=a+b+c+d2

Vậy tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi của tứ giác.

Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

AC<a+b;AC<c+d

BD<b+c;BD<a+d

⇒2(AC+BD)<2(a+b+c+d).

⇒AC+BD<a+b+c+d.

Vậy tổng hai dường chéo nhỏ hơn chu vi tứ giác.

Xét tam giác MNP có:
MF=FE; ME=EP
=> EF là đường trung bình
=> FO//ND ; OE//DP
Mà MF= FN ; ME=EP
=> FO là đường trung bình của tam giác MNO => FO là 1/2 ND
=> OE là đường trung bình của tam giác MPD=> OE=1/2 PD
Mà ND=PD => FO = Ò ( đpcm