Trong k số nguyên liên tiếp, có một và chỉ một số chia hết cho k. Do đó, mỗi một số trong các số 
                               1, 2,..., 2n-1, 2n
là ước của ít nhất một số trong các số 
                               n+1, n+2,..., 2n-1, 2n
Kết quả trên dẫn đến đpcm

\(n^4+2n^3+2n^2+2n+1=\left(n^4+2n^3+n^2\right)+\left(n^2+2n+1\right)=\left(n^2+1\right)\left(n+1\right)^2\)

Voi n=0 

=>n⁴+2n³+2n²+2n+1=1=1²

Em xin mạn phép sửa đề: Chứng minh với mọi số nguyên n thì A (là cái biểu thức bên trên) luôn không âm.

Ta có: \(A=n^2\left(n+1\right)^2+\left(n+1\right)^2=\left(n+1\right)^2\left(n^2+1\right)\ge0\)

Suy ra đpcm.

Lời giải. Bước cơ sở: Với n = 1, ta có S1 = 1 + 1 = 2 chia hết cho 21 = 2. Bước quy nạp: Giả sử mệnh đề đúng với n = k, nghĩa là Sk = (k + 1)(k + 2) ...(k + k) chia hết cho 2k , ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1. Thật vậy, Sk+1 = (k + 2)(k + 3) ...[(k+1) + (k+1)]= 2(k + 1)(k + 2)...(k + k) = 2Sk. Theo giả thiết quy nạp Sk chia hết cho 2k , suy ra Sk+1 chia hết cho 2k+1. Theo nguyên lí quy nạp toán học Sn chia hết 2n với mọi n nguyên dương.  

Từ đề bài ta có A= 3ⁿ⁺¹ (3² + 1) + 2ⁿ⁺¹ (2 +1) = 3ⁿ .3.2.5 + 2ⁿ .2.3

=> ĐPCM;

A = 3 n + 3 + 3 n + 1 + 2 n + 2 + 2 n + 1 = 3 n . 27 + 3 + 2 n + 1 . 4 + 2 = 3 n .30 + 2 n .6 = 6. 3 n .5 + 2 n ⋮ 6

ai giúp mk vs