Lời giải:

Nếu $(1)$ song song với $Ox$ thì $2m-3=0$

Khi đó, ptđt $(1)$ là: $y=-1$. Khoảng cách từ $O$ đến $(1)$ là: $|-1|=1$

Nếu $(1)$ song song với $Oy$ không xét, vì hệ số của $y$ khác $0$ nên $(1)$ luôn cắt $Oy$

Nếu $(1)$ cắt được cả Ox, Oy thì trước tiên $2m-3\neq 0\Leftrightarrow m\neq \frac{3}{2}$

Gọi $A, B$ là giao của $(1)$ với lần lượt trục $Ox, Oy$

$A\in Ox$ nên $y_A=0$. Ta có:

$0=y_A=(2m-3)x_A-1\Rightarrow x_A=\frac{1}{2m-3}$

$B\in Oy$ nên $x_B=0$. Ta có:

$y_B=(2m-3)x_B-1=-1$

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, khoảng cách từ $O$ đến $(1)$ (gọi là $d$) thỏa mãn:
$\frac{1}{d^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}=\frac{1}{|x_A|^2}+\frac{1}{|y_B|^2}$

$=(2m-3)^2+1$

Để $d_{\max}$ thì $\frac{1}{d^2}$ min hay $(2m-3)^2+1$ min 

Điều này xảy ra khi $(2m-3)^2=0$ (vô lý vì $m\neq \frac{3}{2}$)

Vậy khoảng cách max là $1$ khi $m=\frac{3}{2}$

\(a,\) Gọi điểm cố định (d) luôn đi qua là \(A\left(x_0;y_0\right)\)

\(\Leftrightarrow y_0=\left(m-2\right)x_0+2\Leftrightarrow mx_0-2x_0+2-y_0=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=0\\2-2x_0-y_0=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=0\\y_0=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow A\left(0;2\right)\)

Vậy \(A\left(0;2\right)\) là điểm cố định mà (d) lun đi qua

\(b,\) PT giao Ox,Oy: \(y=0\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{2-m}\Leftrightarrow B\left(\dfrac{2}{2-m};0\right)\Leftrightarrow OB=\dfrac{2}{\left|m-2\right|}\\ x=0\Leftrightarrow y=2\Leftrightarrow C\left(0;2\right)\Leftrightarrow OC=2\)

Gọi H là chân đường cao từ O đến (d) \(\Leftrightarrow OH=1\)

Áp dụng HTL: \(\dfrac{1}{OH^2}=1=\dfrac{1}{OB^2}+\dfrac{1}{OC^2}=\dfrac{\left(m-2\right)^2}{4}+\dfrac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow m^2-4m+4+1=4\\ \Leftrightarrow m^2-4m+1=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2+\sqrt{3}\\m=2-\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

\(c,\) Áp dụng HTL: \(\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{OC^2}+\dfrac{1}{OB^2}=\dfrac{\left(m-2\right)^2}{4}+\dfrac{1}{4}\)

Đặt \(OH^2=t\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{t}=\dfrac{m^2-4m+5}{4}\Leftrightarrow t=\dfrac{4}{\left(m-2\right)^2+1}\le\dfrac{4}{0+1}=4\\ \Leftrightarrow OH\le2\\ OH_{max}=2\Leftrightarrow m=2\)