Bài 2:

D là điểm đối xứng của C qua B nên \(BC=BD\)

Lại có \(AB=BC=10\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow AB=\dfrac{CD}{2}\)

Do đó tam giác ADC vuông tại A

Theo định lí Pitago ta có:

\(AD^2=DC^2-AC^2=20^2-16^2=144\)

\(\Rightarrow AD=12\left(cm\right)\)

Bài 3:

Vì M,N là trung điểm AB,AC nên MN là đtb tg ABC

Do đó MN//BC hay MN//PH

Do đó MNPH là hình thang

Xét tg AHC vuông tại H có HN là trung tuyến ứng vs ch AC nên \(HN=\dfrac{1}{2}AC\)

Mà P,M là trung điểm BC,AB nên PM là đtb tg ABC

Do đó \(PM=\dfrac{1}{2}AC\)

Từ đó ta được PM=HN

Vậy MNPH là hình thang cân

Bài 2:

a) gọi I  là giao điểm của AH và PN
xét tam giác ABC có
AP=BF và AN=NC 
Do đó PN là đường trung bình của tam giác ABC
==>PN//BC mà AH vuông góc BC ==>PN vuông góc AH   (1)
ta có : PN//BC mà PI thuộc PN ==> PI//BC
Xét tam giác AHB có
PI//BC và AP=BP
==>AI=IH   (2)
TỪ (1)(2) ==)PN là đg trung trực của AH 

ta có: AM=5 => BC=5.2=10(cm)

mặt khác HM²=AM²-AH²=25-16=9

              => HM=3

=> HB=5-3=2(cm)=> AB²=AH²+HB²=16+4=20

=> AB= căn 20

=> AC................

b) Ta có DF // BC (cmt) hay DI // BE; D là trung điểm của AD ⇒ I là trung điểm của AE và DI = BE/2

Trong ΔAEC có IF là đường trung bình nên IF = EC/2 mà EC = EB (gt) ⇒ IF = ID hay I là trung điểm của DF.

a: Ta có: ΔAHB vuông tại H

mà HP là đường trung tuyến

nên HP=AP

hay P nằm trên đường trung trực của AH(1)

Ta có: ΔAHC vuông tại H 

mà HN là đường trung tuyến

nên HN=AN

hay N nằm trên đường trung trực của AH(2)

Từ (1) và (2) suy ra PN là đường trung trực của AH

(Đề hay quá!)

Gọi \(X\) là trung điểm \(BC\). CM được \(DF,AI,MN\) đồng quy tại điểm ta gọi là \(K\).

Theo tính chất đường trung bình ta có \(MN\) song song \(AB\).

Do tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) cũng suy ra \(AB\) song song với \(IE\).

Áp dụng định lí Thales liên tục ta có:

\(\frac{AN}{IE}=\frac{MN}{MI}=\frac{KA}{KI}=\frac{AP}{ID}\).

Do \(ID=IE\) nên \(AN=AP\). Kết thúc chứng minh.

ê,chứng minh AI,DF,MX đồng quy kiểu gị ?