bài này đc sài máy tính hem. cách sài máy tính lẹ hơn

tùy bạn

nếu đc dùng máy tỉnh bỏ túi thì lập trình trong máy vinacal hoặc casio như sau:

x=x+1:y= căng bậc ba của x(x^2+2x+3)+2

hổng bik viết dấu căng bậc ba

gán cho x chạy tuef 1 thử kím cái nào y nguyên lun thì lấy, khỏi mất công phân tích hé hé:)))

\(x^2+x+13=y^2\\ \Leftrightarrow x^2-y^2+x+13=0\\ \Leftrightarrow4x^2-4y^2+4x+52=0\\ \Leftrightarrow\left(2x+1\right)^2-4y^2=51\\ \Leftrightarrow\left(2x+1-2y\right)\left(2x+1+2y\right)=51=51\cdot1=17\cdot3\left(x,y>0\right)\)

Tới đây giải ra các trường hợp thui

Bài 1 : 

Phương trình <=> 2^x . x² = ( 3y + 1 ) ² + 15

Vì \(\hept{\begin{cases}3y+1\equiv1\left(mod3\right)\\15\equiv0\left(mod3\right)\end{cases}\Rightarrow\left(3y+1\right)^2+15\equiv1\left(mod3\right)}\)

\(\Rightarrow2^x.x^2\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow x^2\equiv1\left(mod3\right)\)

( Vì số  chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1 ) 

\(\Rightarrow2^x\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow x\equiv2k\left(k\inℕ\right)\)

Vậy \(2^{2k}.\left(2k\right)^2-\left(3y+1\right)^2=15\Leftrightarrow\left(2^k.2.k-3y-1\right).\left(2^k.2k+3y+1\right)=15\)

Vì y ,k \(\inℕ\)nên 2^k . 2k + 3y + 1 > 2^k .2k - 3y-1>0

Vậy ta có các trường hợp: 

\(+\hept{\begin{cases}2k.2k-3y-1=1\\2k.2k+3y+1=15\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2k.2k=8\\3y+1=7\end{cases}\Rightarrow}k\notinℕ\left(L\right)}\)

\(+,\hept{\begin{cases}2k.2k-3y-1=3\\2k.2k+3y+1=5\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2k.2k=4\\3y+1=1\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}k=1\\y=0\end{cases}\left(TM\right)}}\)

Vậy ( x ; y ) =( 2 ; 0 ) 

Bài 3: 

Giả sử \(5^p-2^p=a^m\)    \(\left(a;m\inℕ,a,m\ge2\right)\)

Với \(p=2\Rightarrow a^m=21\left(l\right)\)

Với \(p=3\Rightarrow a^m=117\left(l\right)\)

Với \(p>3\)nên p lẻ, ta có

\(5^p-2^p=3\left(5^{p-1}+2.5^{p-2}+...+2^{p-1}\right)\Rightarrow5^p-2^p=3^k\left(1\right)\)    \(\left(k\inℕ,k\ge2\right)\)

Mà \(5\equiv2\left(mod3\right)\Rightarrow5^x.2^{p-1-x}\equiv2^{p-1}\left(mod3\right),x=\overline{1,p-1}\)

\(\Rightarrow5^{p-1}+2.5^{p-2}+...+2^{p-1}\equiv p.2^{p-1}\left(mod3\right)\)

Vì p và \(2^{p-1}\)không chia hết cho 3 nên \(5^{p-1}+2.5^{p-2}+...+2^{p-1}⋮̸3\)

Do đó: \(5^p-2^p\ne3^k\), mâu thuẫn với (1). Suy ra giả sử là điều vô lý

\(\rightarrowĐPCM\)

Bài 4:

Ta đặt: \(S=6^m+2^n+2\)

TH1: n chẵn thì:

\(S=6^m+2^n+2=6^m+2\left(2^{n-1}+1\right)\)

Mà \(2^{n-1}+1⋮3\Rightarrow2\left(2^{n-1}+1\right)⋮6\Rightarrow S⋮6\)

Đồng thời S là scp

Cho nên: \(S=6^m+2\left(2^{n-1}\right)=\left(6k\right)^2\)

\(\Leftrightarrow6^m+6\left(2^{n-2}-2^{n-3}+...+2-1\right)=36k^2\)

Đặt: \(A\left(n\right)=2^{n-2}-2^{n-3}+...+2-1=2^{n-3}+...+1\)là số lẻ

Tiếp tục tương đương: \(6^{m-1}+A\left(n\right)=6k^2\)

Vì A(n) lẻ và 6k^2 là chẵn nên: \(6^{m-1}\)lẻ\(\Rightarrow m=1\)

Thế vào ban đầu: \(S=8+2^n=36k^2\)

Vì n=2x(do n chẵn) nên tiếp tục tương đương: \(8+\left(2^x\right)^2=36k^2\)

\(\Leftrightarrow8=\left(6k-2^x\right)\left(6k+2^x\right)\)

\(\Leftrightarrow2=\left(3k-2^{x-1}\right)\left(3k+2^{x-1}\right)\)

Vì \(3k+2^{x-1}>3k-2^{x-1}>0\)(lớn hơn 0 vì 2>0 và \(3k+2^{x-1}>0\))

Nên: \(\hept{\begin{cases}3k+2^{x-1}=2\\3k-2^{x-1}=1\end{cases}}\Leftrightarrow6k=3\Rightarrow k\notin Z\)(loại)

TH2: n là số lẻ

\(S=6^m+2^n+2=\left(2k\right)^2\)(do S chia hết cho 2 và S là scp)

\(\Leftrightarrow3\cdot6^{m-1}+2^{n-1}+1=2k^2\)là số chẵn

\(\Rightarrow3\cdot6^{m-1}+2^{n-1}\)là số lẻ

Chia tiếp thành 2TH nhỏ: 

TH2/1: \(3\cdot6^{m-1}\)lẻ và \(2^{n-1}\)chẵn với n là số lẻ

Ta thu đc: m=1 và thế vào ban đầu

\(S=2^n+8=\left(2k\right)^2\)(n lớn hơn hoặc bằng 3)

\(\Leftrightarrow2^{n-2}+2=k^2\)

Vì \(k^2⋮2\Rightarrow k⋮2\Rightarrow k^2=\left(2t\right)^2\)

Tiếp tục tương đương: \(2^{n-2}+2=4t^2\)

\(\Leftrightarrow2^{n-3}+1=2t^2\)

\(\Leftrightarrow2^{n-3}\)là số lẻ nên n=3

Vậy ta nhận đc: \(\left(m;n\right)=\left(1;3\right)\)

TH2/2: \(3\cdot6^{m-1}\)là số chẵn và \(2^{n-1}\)là số lẻ

Suy ra: n=1

Thế vào trên: \(6^m+4=4k^2\)

\(\Leftrightarrow6^m=\left(2k-2\right)\left(2k+2\right)\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2k-2=6^q\\2k+2=6^p\end{cases}}\Rightarrow p+q=m\)

Và \(6^p-6^q=4\)

\(\Leftrightarrow6^q\left(6^{p-q}-1\right)=4\Leftrightarrow6^q\le4\Rightarrow q=1\)(do là tích 2 stn)

\(\Rightarrow k\notin Z\)

Vậy \(\left(m;n\right)=\left(1;3\right)\)

P/S: mk không kiểm lại nên có thể sai

x^2y là sao bạn hình như sai ở chỗ đó

đó là (x^2)*y nha

x^3-x^2.y+2x-y=2

=>x^2(x-y)+(x-y)+(x-2)=0

=>(x^2+1)(x-y)+(x-2)=0

Có x^2+1 >=0 với mọi x

để PT trên bằng 0 thì x-y=0 <=>x=y

Và x-2=0 <=> x=2

Vậy x=y=2 thì Pt đã cho bằng 0 

Sợ không đúng thôi

 Điều kiện \(8x+1\ge0\Leftrightarrow8x\ge-1\Leftrightarrow x\ge-\frac{1}{8}\)

Cách 1: Do \(x\in Z\)nên \(x\ge0\).Ta có:

               \(x^3+8=7\sqrt{8x+1}\Leftrightarrow\left(x^3+8^2\right)=(7\sqrt{8x+1})^2\)

\(\Leftrightarrow x^6+16x^3+64=49\left(8x+1\right)\Leftrightarrow x^6+16x^3+392x+15=0\)

\(\Leftrightarrow x^6-3x^5+3x^5-9x^4+9x^4-27x^3+43x^3-129x^2+129x^2-387x-5x+15=0\)

\(\Leftrightarrow x^5\left(x-3\right)+3x^4\left(x-3\right)+9x^3\left(x-3\right)+43x^2\left(x-3\right)+129x\left(x-3\right)-5\left(x-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x^5+3x^4+9x^3+43x^2+129x-5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-3=0\\x^5+3x^4+9x^3+43x^2+129x-5=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=3\\x^5+3x^4+9x^3+43x^2+129x-5=0\left(\cdot\right)\end{cases}}\)

\(x=0\)là nghiệm của \(\left(\cdot\right)\)vì \(-5\ne0\)

\(x\ne0,\)ta có \(x\ge0\)và \(x\in Z\)nên \(x\ge1\)

Do đó \(x^5+3x^4+9x^3+43x^2+129x>5\)

\(\Rightarrow\left(\cdot\right)\)vô nghiện nguyên khác 0

Vậyphương trình chỉ có 1 nghiệm nguyên là \(x=3\)

Cách 2: \(x\ge0;x\in Z\)

Với \(x=0;1;2;4\)đẳng thức ko thỏa mãn

Với \(x=3\)đẳng thức thỏa mãn 

Với \(x\ge5\)ta có :

\(7\sqrt{8x+1}>7\sqrt{8x+1}=21\sqrt{x}< 21x< x^2.x=x^3< x^3+8\)

Vậy phương trình chỉ có 1 nghiệm là \(x=3\)

ở cách 2 ý:(dòng thứ 5 ) mk sử lại nha:

\(7\sqrt{8x+1}>7\sqrt{8x+x}=21\sqrt{x}< 21x< x^2.x=x^3< x^3+8\)

sorry !!

Viết pt trên thành pt bậc 2 đối với x:

\(2x^2-x\left(y+1\right)-\left(2y-1\right)=0\) (1)

(1) có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta=\left(y+1\right)^2+8\left(2y-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow y^2+18y-7\ge0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y\le-9-2\sqrt{22}\\y\ge-9+2\sqrt{22}\end{cases}}\)

Ta cần có \(\Delta\) là số chính phương.Tức là:

\(y^2+18y-7=k^2\Leftrightarrow\left(x+9\right)^2-k^2=88\)

\(\Leftrightarrow\left(x+9-k\right)\left(x+9+k\right)=88\)

Gắt gắt,đợi tí nghĩ cách khác xem sao,cách này thử sao nổi -_-