Cho a,b,c là các số dương a+b+c\(\le\) \(\sqrt{3}\) . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=\(\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+1}}\)
Cho a,b,c là các số dương a+b+c\(\le\) \(\sqrt{3}\) . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=\(\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+1}}\)
Cho các số dương thỏa mãn a+b+c=abc. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
\(P=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+c^2}}\)
\(\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}=\frac{\sqrt{bc}}{\sqrt{bc+a.abc}}=\frac{\sqrt{bc}}{\sqrt{bc+a\left(a+b+c\right)}}=\frac{\sqrt{bc}}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}\right)\)
Tương tự và cộng lại \(\Rightarrow P\le\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\sqrt{3}\)
chưa tìm thấy bài nào thực sự khó ơ câu hỏi hay cả buồn thật
Cho a , b , và c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
\(P=\sqrt{\frac{a^2}{a^2+b+c^2}}+\sqrt{\frac{b^2}{b^2+c+a^2}}+\sqrt{\frac{c^2}{c^2+a+b^2}}\)
Cho a, b, c dương và \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}=\frac{3}{2}\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
\(P=\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{b^2-bc+c^2}}+\frac{1}{\sqrt{c^2-ca+a^2}}\)
Cần chứng minh: \(\sqrt{a^2-ab+b^2}\ge\frac{1}{2}\left(a+b\right)\)
Thật vậy: \(\sqrt{a^2-ab+b^2}\ge\frac{1}{2}\left(a+b\right)^2\Leftrightarrow4\left(a^2-ab+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow4a^2-4ab+4b^2-a^2-b^2-2ab\ge0\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2-2ab\right)\ge0\Leftrightarrow3\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)
Áp dụng:\(P=\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{b^2-bc+c^2}}+\frac{1}{\sqrt{c^2-ac+a^2}}\)
\(\le\frac{1}{\frac{1}{2}\left(a+b\right)}+\frac{1}{\frac{1}{2}\left(b+c\right)}+\frac{1}{\frac{1}{2}\left(c+a\right)}=2\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\right)=3\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=1\)
1. với các số thực dương a,b,c thỏa mãn \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\)
tìm giá trị lớn nhất cùa biểu thức \(P=\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{b^2-bc+c^2}}+\frac{1}{\sqrt{a^2-ac+c^2}}\)
Ta có:
\(P=\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{b^2-bc+c^2}}+\frac{1}{\sqrt{c^2-ca+a^2}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}\left(b+c\right)^2+\frac{3}{4}\left(b-c\right)^2}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}\left(c+a\right)^2+\frac{3}{4}\left(c-a\right)^2}}\)
\(\le2\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
\(\le2.\frac{1}{4}.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)
\(=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\)
1 . )
Cho 3 số a,b,c dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
\(P=\frac{a}{2a+b+c}+\frac{b}{2b+c+a}+\frac{c}{2c+a+b}\)
2
cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(\sqrt{3a^2+2ab+3b^2}+\sqrt{3b^2+2bc+3c^2}+\sqrt{3c^2+2ca+3a^2}\)
1: Cho biểu thức \(A=\left(1-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right):\left(\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}+\frac{\sqrt{x}+2}{3-\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6}\right)\)
a: Tìm ĐKXĐ của A và rút gọn A
b: Tìm tất cả các giá trị của x để A<-1
2: Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn \(a+b+c\le3\)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(P=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{2018}{ab+bc+ca}\)
Bài 1 :
a) \(ĐKXĐ:\hept{\begin{cases}x\ge0\\x\ne4\\x\ne9\end{cases}}\)
\(A=\left(1-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right):\left(\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}+\frac{\sqrt{x}+2}{3-\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6}\right)\)
\(\Leftrightarrow A=\frac{\sqrt{x}+1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}:\frac{x-9-x+4+\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)
\(\Leftrightarrow A=\frac{1}{\sqrt{x}+1}:\frac{\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)
\(\Leftrightarrow A=\frac{1}{\sqrt{x}+1}:\frac{1}{\sqrt{x}-2}\)
\(\Leftrightarrow A=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}\)
b) Để \(A< -1\)
\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}< -1\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}-2< -\sqrt{x}-1\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{x}< 1\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}< \frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow x< \frac{1}{4}\)
Vậy để \(A< -1\Leftrightarrow x< \frac{1}{4}\)
cho ba số thực dương a b c thỏa mãn ab+bc+ac\(\le\)1. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P biết:
P=\(\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2-abc}}+\frac{1}{\sqrt{a^2+c^2-abc}}+\frac{1}{\sqrt{c^2+b^2-abc}}\)
cho 3 số thực dương a b c thỏa mãn \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\) tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
P = \(\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{b^2-bc+c^2}}+\frac{1}{\sqrt{c^2-ac+a^2}}\)
\(a^2-ab+b^2=\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2\ge\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2\)
\(\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}\le\frac{2}{a+b}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)