Đặt \(a=\sqrt{2x-3}\) ; \(b=\sqrt{y-2}\) ; \(c=\sqrt{3z-1}\) (\(a,b,c>0\))

Ta có : \(\frac{1}{a}+\frac{4}{b}+\frac{16}{c}+a+b+c=14\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{2x-3}+\frac{1}{\sqrt{2x-3}}-2\right)+\left(\sqrt{y-2}+\frac{4}{\sqrt{y-2}}-4\right)+\left(\sqrt{3z-1}+\frac{16}{\sqrt{3z-1}}-8\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\frac{\left(2x-3\right)-2\sqrt{2x-3}+1}{\sqrt{2x-3}}\right]+\left[\frac{\left(y-2\right)-4\sqrt{y-2}+4}{\sqrt{y-2}}\right]+\left[\frac{\left(3z-1\right)-8\sqrt{3z-1}+16}{\sqrt{3z-1}}\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(\sqrt{2x-3}-1\right)^2}{\sqrt{2x-3}}+\frac{\left(\sqrt{y-2}-2\right)^2}{\sqrt{y-2}}+\frac{\left(\sqrt{3z-1}-4\right)^2}{\sqrt{3z-1}}=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(\sqrt{2x-3}-1\right)^2=0\\\left(\sqrt{y-2}-2\right)^2=0\\\left(\sqrt{3z-1}-4\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=6\\z=\frac{17}{3}\end{cases}}}\)(TMĐK)

Vậy : \(\left(x;y;z\right)=\left(2;6;\frac{17}{3}\right)\)

Phần đặt ẩn a,b,c bạn bỏ đi nhé ^^

Làm xong bt thầy nguyên chưa cu ? 

x=y=z=1

câu 6 đề 4 qua điểm nào

Bài bạn ღ๖ۣۜLinh's ๖ۣۜLinh'sღ] ★we are one★  có vài chỗ sai xót cần sửa lại

Còn đây là cách của mình

Để A= \(\sqrt{\frac{2005}{x+y}}+\sqrt{\frac{2005}{y+z}}+\sqrt{\frac{2005}{x+z}}\)là số nguyên 

thì đồng thời \(\sqrt{\frac{2005}{x+y}}\);\(\sqrt{\frac{2005}{y+z}}\);\(\sqrt{\frac{2005}{x+z}}\)là số hữu tỉ

Xét \(\sqrt{\frac{2005}{x+y}}\)là số hữu tỉ 

+  \(2005⋮x+y\)

Do 2005 có duy nhất ước 1 là số chính phương

=> \(x+y=2005\)

Khi đó \(A=1+\sqrt{\frac{2005}{y+z}}+\sqrt{\frac{2005}{x+z}}\)là số chính phương khi \(\sqrt{\frac{2005}{y+z}}=\sqrt{\frac{2005}{x+z}}=1\)hoặc\(=\frac{1}{2}\)

=> \(x=y=\frac{2005}{2}\)loại

+ \(x+y⋮2005\)và \(x+y\ne2005\)

=> \(x+y=2005.k^2\)( \(k\inℕ^∗,k>1\))

Tương tự :\(y+z=2005.h^2\)

                \(x+z=2005.g^2\)( \(h,g\inℕ^∗;h,g>1\)=> \(2\left(x+y+z\right)=2005\left(k+h+g\right)\)

=> \(A=\frac{1}{k}+\frac{1}{h}+\frac{1}{g}\)

Mà \(A\ge1\)

=> \(\frac{3}{2}\ge\frac{1}{k}+\frac{1}{h}+\frac{1}{g}\ge1\)

=> \(\frac{1}{k}+\frac{1}{h}+\frac{1}{g}=1\)

Giả sử \(k\ge h\ge g\)=> \(\frac{1}{k}\le\frac{1}{h}\le\frac{1}{g}\)

=> \(1\le\frac{3}{g}\)=> \(g\le3\)Mà g>1 => \(g\in\left\{2;3\right\}\)

Với \(g=2\)=> \(k+h\)chẵn => \(\frac{1}{k}+\frac{1}{h}=\frac{1}{2}\)=> \(\frac{h+k}{k.h}=\frac{1}{2}\)=> \(k.h\)chẵn => k ; h chẵn

\(\frac{1}{2}\le\frac{2}{h}\)=> \(h\le4\)=> \(h\in\left\{2;4\right\}\)

Thay vào ta được \(h=4;k=4\)

Khi đó \(\hept{\begin{cases}x+y=2005.4\\y+z=2005.16\\x+z=2005.16\end{cases}}\)= >\(\hept{\begin{cases}x=2005.2\\y=2005.2\\z=2005.14\end{cases}}\)

Vậy \(\left(x,y,z\right)=\left(2005.2;2005.2;2005.14\right)\)và các hoán vị

Để \(\sqrt{\frac{2005}{x+y}}+\sqrt{\frac{2005}{y+z}}+\sqrt{\frac{2005}{x+z}}\)là số nguyên thì

\(\hept{\begin{cases}\frac{2005}{x+y}\\\frac{2005}{y+z}\\\frac{2005}{x+z}\end{cases}}\)là bình phương của 1 số hữu tỉ

Gỉa sử đặt \(\frac{2005}{x+y}=\left(\frac{a}{b}\right)^2\Leftrightarrow\frac{a^2\left(x+y\right)}{b^2}=2005\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a^2⋮2005\\x+y⋮2005\end{cases}}\)

Xét \(a^2⋮2005\Rightarrow a^2=2005k\left(k\inℕ^∗\right)\)

\(\Rightarrow\frac{2005}{x+y}=\frac{2005k}{b^2}\)\(\Rightarrow b^2=\left(x+y\right)k\)

mà x,y nguyên dương=> x+y=k

\(\Rightarrow b^2⋮2005\)\(\Rightarrow x+y⋮2005\)\(\Rightarrow x+y=2005\)

Tương tự y+z=z+x=2005

Thay vào ta thấy không có giá trị x,y,z thỏa mãn đề bài

Xét \(x+y⋮2005\)

\(\Rightarrow\frac{2005}{x+y}=\frac{1}{h^2}\left(h\inℕ^∗\right)\)

Tương tự \(\frac{2005}{y+z}=\frac{1}{m^2},\frac{2005}{x+z}=\frac{1}{n^2}\left(m,n\inℕ^∗\right)\)

Để \(\sqrt{\frac{2005}{x+y}}+\sqrt{\frac{2005}{y+z}}+\sqrt{\frac{2005}{x+z}}\)là số nguyên thì

\(\frac{1}{h}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n}⋮3\)

\(\Rightarrow2005⋮3\)(vô lí)

Vậy không có giá trị x,y,z nguyên dương thỏa mãn đề bài

P/s: Em không biết đúng không nữa, mong cô sửa hộ

Ta có : \(\frac{x+y\sqrt{2021}}{y+z\sqrt{2021}}=\frac{a}{b}\left(a,b\inℕ^∗;\left(a,b\right)=1\right)\)

<=>\(bx-ay=\left(az-by\right)\sqrt{2021}\)

<=>\(\hept{\begin{cases}nx-ay=0\\az-by=0\end{cases}}\)<=>\(\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{a}{b}\)=> xz = y²

Lại có : x² + y² + z² = ( x + z )² - 2xz + y² = ( x + z )² - y² = ( x + z - y ) ( x + z + y )

Vì x + y + z > 1 và x² + y² + z² là số ntố => \(\hept{\begin{cases}x^2+y^2+z^2=x+y+z\\x-y+z=1\end{cases}}\)<=> x = y = z = 1 ( tm )