Ta có: \(\Delta=\left[-2\left(m-1\right)\right]^2-4\cdot1\cdot\left(m+1\right)\)

\(=\left(-2m+2\right)^2-4\left(m+1\right)\)

\(=4m^2-8m+4-4m-4\)

\(=4m^2-12m\)

Để phương trình có nghiệm thì \(\text{Δ}\ge0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-12m\ge0\)

\(\Leftrightarrow4m\left(m-3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow m\left(m-3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge3\\m\le0\end{matrix}\right.\)

Khi \(\left[{}\begin{matrix}m\ge3\\m\le0\end{matrix}\right.\), Áp dụng hệ thức Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)=2m-2\\x_1\cdot x_2=m+1\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}=4\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x_1^2+x_2^2}{x_1\cdot x_2}=4\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=4\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(2m-2\right)^2-2\cdot\left(m+1\right)}{m+1}=4\)

\(\Leftrightarrow4m^2-8m+4-2m-2=4\left(m+1\right)\)

\(\Leftrightarrow4m^2-10m+2-4m-4=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-14m-2=0\)

Đến đây bạn tự làm nhé, chỉ cần tìm m và đối chiều với điều kiện thôi

Pt có 2 nghiệm

\(\to \Delta=[-2(m-1)]^2-4.1.(m+1)=4m^2-8m+4-4m-4=4m^2-12m\ge 0\)

\(\leftrightarrow m^2-3m\ge 0\)

\(\leftrightarrow m(m-3)\ge 0\)

\(\leftrightarrow \begin{cases}m\ge 0\\m-3\ge 0\end{cases}\quad or\quad \begin{cases}m\le 0\\m-3\le 0\end{cases}\)

\(\leftrightarrow m\ge 3\quad or\quad m\le 0\)

Theo Viét

\(\begin{cases}x_1+x_2=2(m-1)\\x_1x_2=m+1\end{cases}\)

\(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}=4\)

\(\leftrightarrow \dfrac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=4\)

\(\leftrightarrow \dfrac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=4\)

\(\leftrightarrow \dfrac{[2(m-1)]^2-2.(m+1)}{m+1}=4\)

\(\leftrightarrow 4m^2-8m+4-2m-2=4(m+1)\)

\(\leftrightarrow 4m^2-10m+2-4m-4=0\)

\(\leftrightarrow 4m^2-14m-2=0\)

\(\leftrightarrow 2m^2-7m-1=0 (*)\)

\(\Delta_{*}=(-7)^2-4.2.(-1)=49+8=57>0\)

\(\to\) Pt (*) có 2 nghiệm phân biệt

\(m_1=\dfrac{7+\sqrt{57}}{2}(TM)\)

\(m_2=\dfrac{7-\sqrt{57}}{2}(TM)\)

Vậy \(m=\dfrac{7\pm \sqrt{57}}{2}\) thỏa mãn hệ thức

\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-5\ge0\Leftrightarrow m^2+2m-4\ge0\) (1)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=5\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{1}{\left|x_1\right|}+\dfrac{1}{\left|x_2\right|}=2\Leftrightarrow\dfrac{\left|x_1\right|+\left|x_2\right|}{\left|x_1x_2\right|}=2\)

\(\Leftrightarrow\left|x_1\right|+\left|x_2\right|=2\left|x_1x_2\right|=10\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2+2\left|x_1x_2\right|=100\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2+10=100\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=90\)

\(\Leftrightarrow4\left(m+1\right)^2-10=90\)

\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)^2=25\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=4\\m=-6\end{matrix}\right.\) 

Thế vào (1) kiểm tra thấy đều thỏa mãn, vậy...

Để pt cho có 2 nghiệm thì \(\Delta=m^2-4n\ge0\Leftrightarrow m^2\ge4n\) (*)

Theo  Vi - et ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-m\\x_1x_2=n\end{matrix}\right.\)

Ta khai thác dữ kiện : \(x_1^3-x_2^3=7\)

\(\Rightarrow\left(x_1-x_2\right)\left(x_1^2+x_1x_2+x_2^2\right)=7\)

\(\Rightarrow x_1^2+x_1x_2+x_2^2=7\) (1)

\(\Rightarrow\left(x_1-x_2\right)^2+3x_1x_2=7\)

\(\Rightarrow3n=7-1=6\Rightarrow n=2\)

Ta lại có từ (1) suy ra :

\(\Rightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2=7\)

\(\Rightarrow m^2=7+x_1x_2=7+n=7+2=9\)

\(\Rightarrow m=\pm3\)

Thử lại ta thấy các giá trị đều thỏa mãn (*)

Vậy \(\left(m,n\right)=\left(-3,2\right);\left(3,2\right)\)

\(x^2-11x+m-2=0\left(1\right)\)

Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì:

\(\Delta>0\Rightarrow\left(-11\right)^2-4.1.\left(m-2\right)>0\)

\(\Leftrightarrow121-4m+8>0\)

\(\Leftrightarrow m< \dfrac{129}{4}\)

Theo hệ thức Vi-et ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=11\left(1'\right)\\x_1x_2=m-2\end{matrix}\right.\).

Ta có: \(\sqrt{x^2_1-10x_1+m-1}=5-\sqrt{x_2+1}\left(2\right)\)

Đk: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1^2-10x_1+m-1\ge0\\-1\le x_2\le24\end{matrix}\right.\)

\(\left(2\right)\Rightarrow x^2_1-10x_1+m-1=25-10\sqrt{x_2+1}+x_2+1\)

\(\Leftrightarrow x_1^2-10x_1+\left(m-2\right)-25+10\sqrt{11-x_1+1}-x_2=0\)

\(\Rightarrow x_1^2-\left(x_1+x_2\right)-9x_1+x_1x_2-25+10\sqrt{12-x_1}=0\)

\(\Rightarrow x_1\left(x_1+x_2\right)-11-9x_1-25+10\sqrt{12-x_1}=0\)

\(\Rightarrow11x_1-9x_1-36+10\sqrt{12-x_1}=0\)

\(\Leftrightarrow2x_1+10\sqrt{12-x_1}-36=0\)

\(\Leftrightarrow x_1+5\sqrt{12-x_1}-18=0\)

\(\Leftrightarrow18-x_1=5\sqrt{12-x_1}\left(x_1\le12\right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}18-x_1\ge0\\\left(18-x_1\right)^2=25\left(12-x_1\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}18-x_1\ge0\\324-36x_1+x_1^2=300-25x_1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1\le18\\x_1^2-11x_1+24=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1\le18\\\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=8\end{matrix}\right.\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=3\\x_1=8\end{matrix}\right.\left(nhận\right)\)

Thay \(x_1=3\) vào (1') ta được:

\(3+x_2=11\Rightarrow x_2=8\left(nhận\right)\)

\(\Rightarrow m=x_1x_2+2=3.8+2=26\left(thỏa\Delta>0\right)\)

Thay \(x_1=8\) vào (1') ta được:'

\(8+x_2=11\Rightarrow x_2=3\left(nhận\right)\)

\(\Rightarrow m=x_1x_2+2=8.3+2=26\left(thỏa\Delta>0\right)\)

Vậy giá trị m cần tìm là 26.

Xét \(\Delta=4\left(m-1\right)^2-4.\left(-3\right)=4\left(m-1\right)^2+12>0\forall m\)

=>Pt luôn có hai nghiệm pb

Theo viet:\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1.x_2=-3\ne0\forall m\end{matrix}\right.\)

Có \(\dfrac{x_1}{x_2^2}+\dfrac{x_2}{x_1^2}=m-1\)

\(\Leftrightarrow x_1^3+x_2^3=\left(m-1\right)x_1^2.x_2^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)=\left(m-1\right).\left(-3\right)^2\)

\(\Leftrightarrow8\left(m-1\right)^3-3\left(-3\right).2\left(m-1\right)=9\left(m-1\right)\)

\(\Leftrightarrow8\left(m-1\right)^3+9\left(m-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left[8\left(m-1\right)^2+9\right]=0\)

\(\Leftrightarrow m=1\)(do \(8\left(m-1\right)^2+9>0\) với mọi m)

Vậy m=1

Vì \(ac< 0\) \(\Rightarrow\) Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

Theo Vi-ét, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-2\\x_1x_2=-3\end{matrix}\right.\)

Mặt khác: \(\dfrac{x_1}{x_2^2}+\dfrac{x_2}{x_1^2}=m-1\) \(\Rightarrow\dfrac{\left(x_1+x_2\right)\left(x_1^2+x_2^2-x_1x_2\right)}{x_1^2x_2^2}=m-1\)

  \(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x_1+x_2\right)\left[\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2\right]}{x_1^2x_2^2}=m-1\)

  \(\Rightarrow\dfrac{\left(2m-2\right)\left(4m^2-8m+13\right)}{9}=m-1\)

  \(\Leftrightarrow...\)  

dễ lắm bạn mình cm pt đã cho luôn có hai nghiệm pb với mọi m sau đó áp dụng viet tính tích và tổng hai nghiệm  rồi quy đồng hệ thức đứa về dạng tích tổng rồi thay vô là dc

a, Thay x = -5 ta đc 

\(25-5m-35=0\Leftrightarrow-5m-10=0\Leftrightarrow m=-2\)

Thay m = -2 ta đc \(x^2-2x-35=0\Leftrightarrow\left(x+5\right)\left(x-7\right)=0\Leftrightarrow x=-5;x=7\)

b, \(\Delta=m^2-4\left(-35\right)=m^2+4.35>0\)

Vậy pt trên luôn có 2 nghiệm pb 

Ta có \(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=86\Rightarrow m^2-2\left(-35\right)=86\)

\(\Leftrightarrow m^2=16\Leftrightarrow m=-4;m=4\)

a: Thay x=-5 vào pt, ta được:

25-5m-35=0

=>5m+10=0

hay m=-2

Theo đề, ta có: \(x_1x_2=-35\)

nên \(x_2=7\)

b: \(ac=-1\cdot35< 0\)

Do đó: Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Theo đề, ta có: \(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=86\)

\(\Leftrightarrow m^2-2\cdot\left(-35\right)=86\)

hay \(m\in\left\{4;-4\right\}\)

a: Thay m=2 vào pt, ta được:

\(x^2-2x+1=0\)

hay x=1

b: Thay x=2 vào pt, ta được:

\(4-2m+m-1=0\)

=>3-m=0

hay m=3

=>Phương trình sẽ là \(x^2-3x+2=0\)

hay \(x_2=1\)

c: \(\text{Δ}=\left(-m\right)^2-4\left(m-1\right)\)

\(=m^2-4m+4=\left(m-2\right)^2>=0\)

Do đó: Phương trình luôn có nghiệm

Theo đề, ta có: \(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=2\)

\(\Leftrightarrow m^2-2m+2-2=0\)

\(\Leftrightarrow m\left(m-2\right)=0\)

=>m=0 hoặc m=2