\(x^2-2x-3=mx-2m-2\)

\(x^2-2x+2m-mx-1=0\)

\(x^2-\left(m+2\right)x+2m-1=0\)

\(\Delta=\left(m+2\right)^2-4\left(2m-1\right)\)

\(\Delta=m^2+4m+4-8m+4\)

\(\Delta=m^2-4m+8\)

\(\Delta=\left(m-2\right)^2+4>0\)<=> có 2 n⁰ pb

\(\hept{\begin{cases}xA+xB=-\frac{b}{a}=\frac{m+2}{1}=m+2\\xA.xB=\frac{c}{a}=2m-1\end{cases}}\)

\(xA^2+xB^2=10\)

\(\left(xA+xB\right)^2-2xA.xB=10\)

\(\left(m+2\right)^2-2\left(2m-1\right)=10\)

\(m^2+2m+4-4m+2=10\)

\(m^2-2m+6=10\)

\(m^2-2m-4=0\)

\(\Delta=2^2-\left(-16\right)=20\)

\(\sqrt{\Delta}=2\sqrt{5}\)

\(x_1=\frac{2+2\sqrt{5}}{2}=1+\sqrt{5}\)

\(x_2=\frac{2-2\sqrt{5}}{2}=1-\sqrt{5}\)

a.

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(x^2+6x+3=-2mx-m^2\Leftrightarrow x^2+2\left(m+3\right)x+m^2+3=0\)

\(\Delta'=\left(m+3\right)^2-\left(m^2+3\right)=6\left(m+1\right)>0\Rightarrow m>-1\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B=-2\left(m+3\right)\\x_Ax_B=m^2+3\end{matrix}\right.\)

\(P=10\left(m+3\right)-2\left(m^2+3\right)=-2m^2+10m+24\)

\(P=-2\left(m-\dfrac{5}{2}\right)^2+\dfrac{73}{2}\le\dfrac{73}{2}\)

\(P_{max}=\dfrac{73}{2}\) khi \(m=\dfrac{5}{2}\)

b.

Pt hoành độ giao điểm:

\(x^2-2x-2=x+m\Leftrightarrow x^2-3x-m-2=0\)

\(\Delta=9+4\left(m+2\right)>0\Rightarrow m>-\dfrac{17}{4}\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B=3\\x_Ax_B=-m-2\end{matrix}\right.\)

Đồng thời \(y_A=x_A+m\) ; \(y_B=x_B+m\)

\(P=OA^2+OB^2=x_A^2+y_A^2+x_B^2+y_B^2\)

\(=x_A^2+x_B^2+\left(x_A+m\right)^2+\left(x_B+m\right)^2\)

\(=2\left(x_A^2+x_B^2\right)+2m\left(x_A+x_B\right)+2m^2\)

\(=2\left(x_A+x_B\right)^2-4x_Ax_B+2m\left(x_A+x_B\right)+2m^2\)

\(=18-4\left(-m-2\right)+6m+2m^2\)

\(=2m^2+10m+26=2\left(m+\dfrac{5}{2}\right)^2+\dfrac{27}{2}\ge\dfrac{27}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(m=-\dfrac{5}{2}\)

Xét phương trình hoành độ ta có :\(mx^2-2x+m^2=0\)

\(\Delta=b^2-4ac=4-4m^3\)

Để phương trình có nghiệm thì \(\Delta\ge0\)hay \(4-4m^3\ge0\)

\(4\ge4m^3\)

\(1\ge m^3\)

\(1\ge m\)

Theo Vi-ét ta có \(\hept{\begin{cases}xA+xB=\frac{-b}{a}=\frac{2}{m}\\xAxB=\frac{c}{a}=m\end{cases}}\)

Vì m >0 nên \(xAxB>0\)

Vậy phương trình có hai nghiệm cùng dấu nên A B nằm cùng 1 phía trục tung

Ta có :\(\frac{2}{xA+xB}+\frac{1}{4xAxB+1}\)

\(\frac{2}{\frac{2}{m}}\)\(+\frac{1}{4m+1}\)= \(m+\frac{1}{4m+1}=\frac{m\left(4m+1\right)}{4m+1}+\frac{1}{4m+1}\)=\(\frac{4m^2+m+1}{4m+1}=P\)

\(4m^2+m+1=P\left(4m+1\right)\)

\(4m^2+m+1=4mP+P\)

\(4m^2+m+1-4mP-P=0\)

\(4m^2+m-4mP+1-P=0\)

\(4m^2+m\left(1-4P\right)+1-P=0\)

\(\Delta=b^2-4ac=\left(1-4P\right)^2-16\left(1-P\right)\)

\(=1-8P+16P^2-16+16P\)

\(=-15+8P+16P^2\)

Để phương trình có nghiệm thì \(\Delta\ge0\)hay \(16P^2+8P-15\ge0\)

\(\orbr{\begin{cases}P\le\frac{-5}{4}\\P\ge\frac{3}{4}\end{cases}}\)

Vậy minP =\(\frac{3}{4}\)

Dấu = xảy ra \(< =>\)\(\frac{4m^2+m+1}{4m+1}=P\)

\(\frac{4m^2+m+1}{4m+1}=\frac{3}{4}\)

\(4\left(4m^2+m+1\right)=3\left(4m+1\right)\)

\(16m^2+4m+4-12m-3=0\)

\(16m^2-8m+1=0\)

\(m=\frac{1}{4}\)

Vậy minP=\(\frac{3}{4}\)khi và chỉ khi \(m=\frac{1}{4}\)

đường thẳng \(d^'\)và \(d\)cắt nhau tại một điểm A trên trục tung nên điểm A có hoành độ \(x_a=0\)và tạo độ A thỏa mãn phương trình \(d^'\)nên :\(\Rightarrow y_a=-2.0+1=1\)\(\Rightarrow A\left(0;1\right)\)Mà do a là giao điểm của 2 đường \(d;d^'\)nên toạn độ A cũng thỏa mãn phương trình của \(d\): \(\Rightarrow1=-m^2+m+1\Leftrightarrow m^2-m=0\Leftrightarrow m\left(m-1\right)=0\Leftrightarrow m\orbr{\begin{cases}m=0\\m=1\end{cases}}\)

câu b :

Xét phương trình hoành độ gia điểm của P và d có :

\(x^2=2mx-m^2+m+1\Leftrightarrow x^2-2mx+m^2-m-1=0\)

để hai đồ thị cắt nhau tại 2 điểm phân biệt thì \(\Delta^'=m^2+m^2-m-1=2m^2-m-1>0\)

\(\left(m-1\right)\left(2m+1\right)>0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m< -\frac{1}{2}\\m>1\end{cases}}@\)

khi đó theo vieet có :\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=-m^2+m+1\end{cases}}\)

\(\Rightarrow y_1+y_2+2\left(x_1+x_2\right)=22\)với \(y_1=x^2_1;y_2=x_2^2\)

\(\Rightarrow\left(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1.x_2\right)+\left(x_1+x_2\right)2=22\)thay vieet ta có :

\(\left(2m\right)^2-2\left(-m^2+m+1\right)+2.2m=22\)

\(\Leftrightarrow6m^2+2m-24=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=\frac{-1+\sqrt{144}}{6}\\m=\frac{-1-\sqrt{144}}{6}\end{cases}}\)thỏa mãn @ 

Kết luận nghiệm

tính denta sai rùi rùi bạn ơi 

phải là 145 chứ ko phải 144 

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm

  \(x^2=-x+2\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\Rightarrow y=1\\x=-2\Rightarrow y=4\end{matrix}\right.\)

  Vậy tọa độ giao điểm là \(\left(1;1\right)\) và \(\left(-2;4\right)\)

a: Khi m=-1 thì (d): y=-x+1-(-1)=-x+2

PTHĐGĐ là:

x^2+x-2=0

=>(x+2)(x-1)=0

=>x=-2 hoặc x=1

=>y=4 hoặc y=1

b: PTHĐGĐ là:

x^2-mx+m-1=0

Δ=(-m)^2-4(m-1)

=m^2-4m+4=(m-2)^2>=0

Để (P) cắt (d) tại hai điểm pb thì m-2<>0

=>m<>2

\(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=3\)

=>x1+x2+2 căn x1x2=9

=>\(m+2\sqrt{m-1}=9\)

=>\(m-1+2\sqrt{m-1}=8\)

=>\(\left(\sqrt{m-1}+4\right)\left(\sqrt{m-1}-2\right)=0\)

=>m=5

Pt hoành độ giao điểm:

\(x^2=mx-m+1\Leftrightarrow x^2-1-m\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+1\right)-m\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-m+1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=m-1\end{matrix}\right.\)

(d) và (P) cắt nhau tại 2 điểm pb \(\Rightarrow m\ne2\)

Khi đó: \(\left|x_1\right|+\left|x_2\right|=4\Leftrightarrow\left|1\right|+\left|m-1\right|=4\)

\(\Leftrightarrow\left|m-1\right|=3\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-2\\m=4\end{matrix}\right.\)