a) Xét tứ giác ADME có:

∠(DAE) = ∠(ADM) = ∠(AEM) = 90o

⇒ Tứ giác ADME là hình chữ nhật (có ba góc vuông).

b) Ta có ME // AB ( cùng vuông góc AC)

M là trung điểm của BC (gt)

⇒ E là trung điểm của AC.

Ta có E là trung điểm của AC (cmt)

Chứng minh tương tự ta có D là trung điểm của AB

Do đó DE là đường trung bình của ΔABC

⇒ DE // BC và DE = BC/2 hay DE // MC và DE = MC

⇒ Tứ giác CMDE là hình bình hành.

c) Ta có DE // HM (cmt) ⇒ MHDE là hình thang (1)

Lại có HE = AC/2 (tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông AHC)

DM = AC/2 (DM là đường trung bình của ΔABC) ⇒ HE = DM (2)

Từ (1) và (2) ⇒ MHDE là hình thang cân.

d) Gọi I là giao điểm của AH và DE. Xét ΔAHB có D là trung điểm của AB, DI // BH (cmt) ⇒ I là trung điểm của AH

Xét ΔDIH và ΔKIA có

IH = IA

∠DIH = ∠AIK (đối đỉnh),

∠H1 = ∠A1(so le trong)

ΔDIH = ΔKIA (g.c.g)

⇒ ID = IK

Tứ giác ADHK có ID = IK, IA = IH (cmt) ⇒ DHK là hình bình hành

⇒ HK // DA mà DA ⊥ AC ⇒ HK ⊥ AC

a] Để chứng minh AF // BD, ta cần chứng minh tỉ số đồng dạng giữa các cặp cạnh tương ứng của hai tam giác ACF và BDE. Ta có:

AC/BD = AD/BE (vì AF // BD) AC/AD = BE/BD (vì AM // BD và BN // BD)

Từ hai tỉ số trên, ta có:

AC/AD = BE/BD

Vậy, ta đã chứng minh được AF // BD.

b] Để chứng minh E là trung điểm CF, ta cần chứng minh CE = EF và CF // AB. Ta có:

CE = AM (vì CE // AM và AC // BD) EF = BN (vì EF // BN và AC // BD)

Vậy, ta đã chứng minh được E là trung điểm CF.

Gọi H là trung điểm DC. 

Chứng minh HE// IF( vì cùng //BC)

=> HE vuông FK ( vì FK vuông IF)

Tương tự HF// EI( vì cùng //AD)

=> HF vuông  EK( vì EK vuông IE)

Xét tam giác EFH có EK và FK là 2 đường cao nên K là trực tâm. Suy ra HK vuông FE mà FE //DC nên HK vuông DC tại H suy ra tam giác KDC cân tại K. Nên KD=KC

a) Ta có:

+) M là trung điểm của AD và MN // CD

MN là đường trung bình của hình thang ABCD

N là trung điểm của BC

+) M là trung điểm của AB và ME // AB

ME là đường trung...

= một vé báo cáo chứ sao khó ợt

AE = CF (gt)

mà AE // CF (ABCD là hình chữ nhật)

=> AECF là hình bình hành

=> FA // CE

=> AFD = ECF (2 góc đồng vị)

mà ECF = CEB (2 góc so le trong, AB // CD)

=> AFD = CEB (1)

AB = CD (ABCD là hình chữ nhật)

mà AE = CF (gt)

=> AB - AE = CD - CF

=> EB = DF (2)

Xét tam giác NEB và tam giác MFD có:

NEB = MFD (theo 1)

EB = FD (theo 2)

EBN = FDM (2 góc so le trong, AB // CD)

=> Tam giác NEB = Tam giác MFD (g.c.g)

=> BN = DM (2 cạnh tương ứng)

O là trung điểm của BD (3)

=> O là trung điểm của AC (ACBD là hình chữ nhật) (4)

=> O là trung điểm của EF (AECF là hình bình hành) (5)

AEI = ABD (2 góc so le trong, EI // BD)

CFK = CDB (2 góc so le trong, FK // BD)

mà ABD = CBD (2 góc so le trong, AB // CD)

=> AEI = CFK (6)

EI // BD (gt)

FK // DB (gt)

=> EI // FK (7)

Xét tam giác EAI và tam giác FCK có:

IEA = KFC (theo 6)

EA = FC (gt)

EAI = FCK (= 90⁰)

=> Tam giác EAI = Tam giác FCK (g.c.g)

=> EI = FK (2 cạnh tương ứng)

mà EI // FK (theo 7)

=> EIFK là hình bình hành

mà O là trung điểm của EF (theo 5)

=> O là trung điểm của IK (8)

Từ (3), (4), (5) và (8)

=> AC, EF, IK đồng quy tại O là trung điểm của BD

O là trung điểm của AC và BD

=> OA = OC = \(\frac{AC}{2}\)

OB = OD = \(\frac{BD}{2}\)

mà AC = BD (ABCD là hình chữ nhật)

=> OA = OD = OB = OC

=> Tam giác OAD cân tại O

mà AOD = 60⁰

=> Tam giác OAD đều

=> AD = OA = OD

mà AD = 1 cm

AD = BC (ABCD là hình chữ nhật)

=> OA = OD = OC = OB = BC = 1 cm

=> AC = 2OA = 2 . 1 = 2 cm

Xét tam giác BAC vuông tại B có:

\(AC^2=BA^2+BC^2\) (định lý Pytago)

\(AB^2=AC^2-BC^2\)

\(=2^2-1^2\)

\(=4-1\)

= 3

\(AB=\sqrt{3}\)

\(S_{ABCD}=AB\times BC=\sqrt{3}\times1=\sqrt{3}\left(cm^2\right)\)