để 17a+8 là số chính phương (a\(\in Z\))

khi \(17a+8=y^2\)

<=>\(17a-17+25=y^2\)

<=>\(17\left(x-1\right)=y^2-25< =>17\left(x-1\right)=\left(y-5\right)\left(y+5\right)\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}(y-5)⋮17\\\left(y+5\right)⋮17\end{matrix}\right.\)=>y=\(17n\pm5\)=>a=\(17n^2\pm10n+1\)

Giải:

Giả sử luôn tồn tại y ∈ N sao cho: 17a+8=y²

Khi đó:

17a+8=y²

⇔17a-17+25=y²

⇔17.(a-1)=y²-25

⇔17.(a-1)=(y+5).(y-5)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(y-5\right)⋮17\\\left(y+5\right)⋮17\end{matrix}\right.\)  

⇔y=17n \(\overset{+}{-}\)5

⇔a=17n² \(\overset{+}{-}\) 10n+1

Chúc bạn học tốt!

a. tìm a là số tự nhiên để 17a+8 là số chính phương

Giả sử \(17a+8=x^2\Rightarrow17a-17+25=x^2\Rightarrow17\left(a-1\right)=x^2-25\Rightarrow17\left(a-1\right)=\left(x-5\right)\left(x+5\right)\)

\(\Rightarrow\left(x-5\right);\left(x+5\right)⋮17\)

\(\Rightarrow x=17n\pm5\Rightarrow a=17n^2\pm10n+1\)

Đặt tích: \(\left(16a+17b\right)\left(17a+16b\right)=P\)

\(P=\left[11\left(2a+b\right)-6\left(a-b\right)\right]\cdot\left[11\left(2a+b\right)-5\left(a-b\right)\right]\)

P chia hết cho 11 thì

Vậy, P luôn có ít nhất 1 ước chính phương (khác 1) là 11². ĐPCM

hello

11 là số nguyên tố, (16a+17b)(17a+16b) chia hết cho 11 => có ít nhất một thừa số chia hết cho 11, không giãm tính tính tổng quát, giả sử (16a+17b) chia hết cho 11
ta cm (17a+16b) cũng chia hết cho 11, thật vậy:
16a + 17b chia hết cho 11 => 2(16a + 17b) chia hết cho 11
=> 33(a+b) + b -a chia hết cho 11 => b-a chia hết cho 11
=> a-b chia hết cho 11

Ta có: 2(17a+16b) = 33(a+b) + a-b chia hết cho 11
do 2 và 11 là hai số nguyên tố => 17a+16b chia hết cho 11

Vậy (16a+17b)(17a+16b) chia hết cho 11.11 = 121 = 11^2 là scp => đpcm

Đề cho là (16a+17b) + (16b+17a) chia hết cho 11 chứ đâu phải là (16a+17b) . (16b+17a) chia hết cho 11

nhân đúng rùi mà