a) Ta có:

\(AE = EF = FC\) nên \(AE = EF = FC = \frac{1}{3}AC\) (1)

Vì \(ABCD\) là hình bình hành (gt)

Suy ra \(O\) là trung điểm của \(AC\) hay \(OA = OC = \frac{1}{2}AC\) và \(AC = 2OA = 2OC\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AE = EF = FC = \frac{2}{3}OA = \frac{2}{3}OC\).

Xét \(\Delta BCD\) có \(CO\) là trung tuyến và \(CF = \frac{2}{3}CO\) (cmt)

Suy ra \(F\) là trọng tâm của \(\Delta BCD\)

Suy ra \(BM\) là đường trung tuyến của \(\Delta BCD\)

Suy ra \(M\) là trung điểm của \(CD\)

Xét \(\Delta ABD\) có \(AO\) là trung tuyến và \(AE = \frac{2}{3}AO\) (cmt)

Suy ra \(E\) là trọng tâm của \(\Delta ABD\)

Suy ra \(DN\) là đường trung tuyến của \(\Delta ABD\)

Suy ra \(N\) là trung điểm của \(AB\)

b) Do M là trung điểm của CD (câu a) nên \(MC = MD = \frac{1}{2}CD\).

            N là trung điểm của AB (câu a) nên \(NB = NA = \frac{1}{2}AB\).

Mà AB = CD và AB // CD (do ABCD là hình bình hành)

Suy ra NB = MD và NB // MD.

Xét tứ giác BMDN có NB = MD và NB // MD

Do đó BMDN là hình bình hành.

Suy ra BM // DN và BM = DN.

Ta có E là trọng tâm của DABD nên  \(EN = \frac{1}{3}DN\).

F là trọng tâm của DBCD nên \(FM = \frac{1}{3}BM\).

Mà DN = BM (chứng minh trên) nên EN = FM.

Xét tứ giác EMFN có EN = FM và EN // FM (do BM // DN)

Suy ra EMFN là hình bình hành.

a) Xét tứ giác ABEC có  AB // CE; AC // BE .

Vậy nên ABEC  là hình bình hành. Suy ra AB = CE.

Do MN là đường trung bình hình thang ABCD nên ta có :

\(MN=\frac{AB+DC}{2}=\frac{CE+DC}{2}=\frac{DE}{2}.\)

b) Do ABCD là hình thang cân nên ta có:

\(AD=BC;DB=AC\)

Xét tam giác ABD và tam giác BAC có:

Cạnh AB chung

AD = BC

BD = AC

\(\Rightarrow\Delta ABD=\Delta BAC\left(c-c-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{BAC}\) hay \(\widehat{ABO}=\widehat{BAO}\)

Xét tam giác OAB có \(\widehat{ABO}=\widehat{BAO}\) nê OAB là tam giác cân tại O.

c) Do ABEC là hình bình hành nên AC = BE

Lại có AC = BD nên BD = BE

Suy ra tam giác BDE cân tại B.

Tam giác cân BDE có BH là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến.

Lại có theo câu a thì MN = DE/2

Giả thiết lại cho MN = BH. Vậy nên BH = DE/2

Xét tam giác BDE có trung tuyến BH bằng một nửa cạnh tướng ứng nên BDE là tam giác vuông tại B.

Vậy BDE là tam giác vuông cân tại B.