a)

Có 2 trung tuyến BN, CM cắt nhau suy ra \(BN\perp AM\)

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có \(BG=\dfrac{2}{3}BN=\dfrac{2}{3}.4=\dfrac{8}{3}\left(cm\right)\)

Trong tam giác ABN vuông tại A, đường cao AG, ta có:

\(AB^2=BG.BN\) (hệ thức lượng)

\(\Rightarrow AB=\sqrt{\dfrac{8}{3}.4}=\dfrac{4\sqrt{6}}{3}\left(cm\right)\)

Tam giác ABN vuông tại A

\(\Rightarrow AN^2=BN^2-AB^2\\ \Rightarrow AN=\sqrt{4^2-\left(\dfrac{4\sqrt{6}}{3}\right)^2}=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\left(cm\right)\)

Mà N là trung điểm AC => AC = \(\dfrac{8\sqrt{3}}{3}\left(cm\right)\)

Áp dụng đl pytago vào tam giác ABC: 

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{\left(\dfrac{4\sqrt{6}}{3}\right)^2+\left(\dfrac{8\sqrt{3}}{3}\right)^2}=4\sqrt{2}\left(cm\right)\)

Thừa dữ kiện AM = 3cm, bạn coi kỹ đề đủ/ đúng hết chưa thì cmt để chút mình coi lại bài giải

a) 

Vì  là trọng tâm tam giác  và  là đường trung tuyến nên AG= \(\dfrac{2}{3}.AM=\dfrac{2}{3}.9=6\left(cm\right)\)

b) Vì  là trọng tâm tam giác  và  là đường trung tuyến nên 

Đây nè tự vẽ tự diễn nha

Vì AM VÀ BN LÀ 2 ĐG TRUNG TUYẾN 

=> AN = 1/2 AC = 1/2 . 3 = 3/2

=> BM = 1/2 AB = 1/2 . 4 = 2 

ĐẶT GN = X => GB = 2X ( TÍNH CHẤT TRỌNG TÂM)

          GM = Y => GA = 2Y ( .....)

TAM GIÁC ANG VUÔNG TẠI N , THEO PYTAGO

                       GN^2 + GA^2 = AN^2 

              =>   X^2 + (2Y)^2       = (3/2) ^2 

             => X^2 + 4Y^2           = 9/4  (1)

tAM GIÁC GBM VUÔNG TẠI G THEO PY TA GO:

                 GM^2 + GB^2 = MB^2 

          =>  Y^2+  ( 2X)^2     =  2^2 

        =>  Y^2  + 4X^2          = 4 

          => 4( Y^2 + 4X^2 )   = 4.4  

         => 4Y^ 2 + 16X^2       = 16 (2)

lấY (2)  - (1) TA CÓ 4Y^2 + 16 X^2 - X^2 - 4Y^2 =  16 -9/4 

                            => 15 X^2                                     =  55/4 

                             => X^2                                          =  11/12 

TA CÓ X^2 + 4 Y^2 = 9/4 <=> 11/12 + 4 .Y^2 = 9/4 => 4Y^2 = 9/4 -11/2 =>4Y ^2 = 4/3 => Y^2 = 1/3

tAM GIÁC GAB VUÔNG TẠI g , THEO PY TA GO 

   (GA)^2 + (GB)^2 = AB^2 

=> (2X)^2 + (2Y)^2  = AB^2

=>4X^2  + 4Y^2      = AB^2

=> 4( X^2 + Y^2 )   = AB^2

=> 4 ( 11/12 + 1 / 3) =AB^2

=> 4.5/4                      = AB^2

=> AB^2 = 5

=> AB    = CĂN 5 

\(BC^2=AB^2+AC^2\left(Pitago\right)\)

\(\Rightarrow AC^2=BC^2-AB^2=625-400=225\)

\(\Rightarrow AC=15\left(cm\right)\)

\(AM^2=\dfrac{2.\left(AB^2+AC^2\right)-BC^2}{4}\) (Độ dài trung tuyến trong tam giác)

\(\Rightarrow AM^2=\dfrac{2.\left(400+225\right)-625}{4}=\dfrac{625}{4}\)

\(\Rightarrow AM=\dfrac{25}{2}\left(cm\right)=12,5\left(cm\right)\)

Tương tự ...

\(BN^2=\dfrac{2.\left(AB^2+BC^2\right)-AC^2}{4}\)

\(\Rightarrow BN^2=\dfrac{2.\left(400+625\right)-225}{4}=\dfrac{1825}{4}\)

\(\Rightarrow BN=\sqrt[]{\dfrac{1825}{4}}=\sqrt[]{\dfrac{73.25}{4}}=\dfrac{5\sqrt[]{73}}{4}\left(cm\right)\)

\(CE^2=\dfrac{2.\left(AC^2+BC^2\right)-AB^2}{4}\)

\(\Rightarrow CE^2=\dfrac{2.\left(225+625\right)-400}{4}=\dfrac{1300}{4}\)

\(\Rightarrow CE=\sqrt[]{\dfrac{1300}{4}}=\sqrt[]{\dfrac{13.100}{4}}=\dfrac{10\sqrt[]{13}}{4}=\dfrac{5\sqrt[]{13}}{2}\left(cm\right)\)

Đính chính 

\(BN=\dfrac{5\sqrt[]{73}}{2}\left(cm\right)\)

\(CE=\dfrac{10\sqrt[]{13}}{2}=5\sqrt[]{13}\left(cm\right)\)