Trong tam giác AMN, ta có:

MN = AN.sin(∠MAN) (định lí sin)

Vì MN là hình chiếu vuông góc của D lên AB và AC, nên AN = AD.cos(∠BAC) và AM = AD.cos(∠CAB). Thay vào công thức trên, ta có:

MN = AD.cos(∠CAB).sin(∠BAC)

Do đó, để chứng minh MN = AD.sin(BAC), ta cần chứng minh rằng:

cos(∠CAB).sin(∠BAC) = sin(∠BAC)

Áp dụng định lí sin, ta có:

cos(∠CAB).sin(∠BAC) = sin(∠BAC).cos(∠CAB)

Vì cos(∠CAB) = cos(90° - ∠BAC) = sin(∠BAC), nên:

sin(∠BAC).cos(∠CAB) = sin(∠BAC).sin(∠BAC) = sin^2(∠BAC)

Vậy, MN = AD.sin(BAC).

Như vậy, đã chứng minh hai điều kiện trên.

GẤP LẮM Ạ,NGAY BÂY GIỜ Ạ

Bài làm

a) Vì AH vuông góc với BC

=> Tam giác AHC vuông ở H.

=> \(\widehat{HAC}+\widehat{C}=90^0\)                                 (1) 

Vì HN vuông góc với AC

=> Tam giác HNC vuông ở N

=> \(\widehat{NHC}+\widehat{C}=90^0\)                             (2)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{HAC}=\widehat{NHC}\)

Xét tam giác AHN và tam giác ACH có:

\(\widehat{ANH}=\widehat{HNC}\left(=90^0\right)\)

\(\widehat{HAC}=\widehat{NHC}\)

=> Tam giác AHN ~ tam giác ACH ( g - g )

b) Xét tam giác AHB vuông ở H,

Theo định lí Thales có:

\(AB^2=AH^2+HB^2\)

Hay \(15^2=12^2+HB^2\)

\(\Rightarrow225=144+HB^2\)

\(\Rightarrow HB^2=81\)

\(\Rightarrow HB=9\left(cm\right)\)

Xét tam giác AHC vuông ở H có:

\(AC^2=AH^2+HC^2\)

hay \(13^2=12^2+HC^2\)

\(\Rightarrow169=144+HC^2\)

\(\Rightarrow HC^2=25\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow HC=5\left(cm\right)\)

Ta có: HB + HC = BC

hay 9 + 5 = BC

=> BC = 14 ( cm )

a: Xét ΔABC có

BE,CF là các đường cao

BE cắt CF tại H

=>H là trực tâm

=>AH vuông góc BC tại K

Xét ΔBKA vuông tại K và ΔBFC vuông tại F co

góc KBA chung

=>ΔBKA đồng dạng với ΔBFC

b: ΔBKA đồng dạng với ΔBFC

=>BK/BF=BA/BC

=>BK*BC=BF*BA và BK/BA=BF/BC

c: Xét ΔBKF và ΔBAC có

BK/BA=BF/BC

góc KBF chung

=>ΔBKF đồng dạng vơi ΔBAC

Ta có: \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=\widehat{C}+10^o+\widehat{C}-10^o+\widehat{C}=3\widehat{C}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{C}=60^o\)\(\Rightarrow\widehat{A}=70^o\); \(\widehat{B}=50^o\)

a: Xét ΔAHF vuông tại F và ΔABD vuông tại D có 

\(\widehat{HAF}\) chung

Do đó: ΔAHF∼ΔABD

b: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có 

\(\widehat{FAC}\) chung

Do đó: ΔAEB∼ΔAFC

Suy ra: AE/AF=AB/AC

hay \(AE\cdot AC=AB\cdot AF\)

c: Xét tứ giác BFHD có 

\(\widehat{BFH}+\widehat{BDH}=180^0\)

Do đó: BFHD là tứ giác nội tiếp

Suy ra: \(\widehat{ABE}=\widehat{ADF}\)