Xét phương trình 7x² + 2(m – 1)x – m² = 0 (1)

a) Phương trình có nghiệm khi ∆’ ≥ 0

Ta có: ∆’ = (m – 1)² – 7(-m²) = (m – 1)² + 7m² ≥ 0 với mọi m

Vậy phương trình (1) luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

b) Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình (1)

Ta có:

\(x^2_1+x^2_2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\\ =\left[\dfrac{-2\left(m-1\right)^2}{7}\right]-2\dfrac{\left(-m\right)^2}{7}\\ =\dfrac{4m^2-8m+4}{49}+\dfrac{2m^2}{7}\\ =\dfrac{4m^2-8m+4+14m^2}{49}\\ =\dfrac{18m^2-8m+4}{49}\)

Vậy \(x^2_1+x^2_2=\dfrac{18m^2-8m+4}{49}\).

Xét phương trình 7x² + 2(m – 1)x – m² = 0 (1)

a) Phương trình có nghiệm khi ∆’ ≥ 0

Ta có: ∆’ = (m – 1)² – 7(-m²) = (m – 1)² + 7m² ≥ 0 với mọi m

Vậy phương trình (1) luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

b) Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình (1)

Ta có:

=\(\dfrac{4m^2-8m+4}{49}\)+\(\dfrac{2m^2}{7}\)

=\(\dfrac{4m^2-8m+4+14m^2}{49}\)

=\(\dfrac{18m^2-8m+4}{49}\)

vậy x\(\dfrac{2}{1}\)+x\(\dfrac{2}{2}\)=\(\dfrac{18m^2-8m+4}{49}\)

\(3x^2-2\left(m+1\right)x+3m-5=0\)

Xét \(\Delta=4\left(m+1\right)^2-4.3.\left(3m-5\right)\)\(=4m^2-28m+64=4\left(m-\dfrac{7}{2}\right)^2+15>0\forall m\)

=> pt luôn có hai nghiệm pb

Kết hợp viet và giả thiết có hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{2\left(m+1\right)}{3}\\x_1=3x_2\\x_1x_2=\dfrac{3m-5}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x_2+x_2=\dfrac{2m+2}{3}\\x_1=3x_2\\x_1x_2=\dfrac{3m-5}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=\dfrac{m+1}{6}\\x_1=\dfrac{m+1}{2}\\x_1x_2=\dfrac{3m-5}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(m+1\right)}{6}.\dfrac{\left(m+1\right)}{2}=\dfrac{3m-5}{3}\)\(\Leftrightarrow m^2-10m+21=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=7\\m=3\end{matrix}\right.\)

Tại m=7 thay vào pt ta tìm được \(\left[{}\begin{matrix}x=4\\x=\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\)

Tại m=3 thay vào pt ta tìm được \(\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\)

giải dùm với Ạ.

m đâu bạn ? 

a) Ta có: a = 7, b= 2(m-1),  c   =   -   m 2

Suy ra:  Δ '   =   ( m   -   1 ) 2   +   7 m 2

Do   ( m - 1 ) 2   ≥   0 mọi m và m 2   ≥   0  mọi m

=> ∆’≥ 0 với mọi giá trị của m.

Do đó phương trình có nghiệm với mọi giá trị của m.

b) Gọi hai nghiệm của phương trình là  x 1 ;   x 2 .

Theo định lý Vi-et ta có: 

Khi đó:

Gọi hai nghiệm của phương trình là x1; x2.

Theo định lý Vi-et ta có: 

Khi đó:

a, Th1 : \(m-1=0\Rightarrow m=1\)

\(\Rightarrow-x+3=0\\ \Rightarrow x=3\)

Th2 : \(m\ne1\)

\(\Delta=\left(-1\right)^2-4.\left(m-1\right).3\\ =1-12m+12\\=13-12m \)

phương trình có nghiệm \(\Delta\ge0\)

\(\Rightarrow13-12m\ge0\\ \Rightarrow m\le\dfrac{13}{12}\)

b, Áp dụng hệ thức vi ét : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{1}{m-1}\\x_1x_1=\dfrac{3}{m-1}\end{matrix}\right.\)

Tổng bình phương hai nghiệm bằng 12 \(\Rightarrow x^2_1+x^2_2=12\)

\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=12\\ \Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{m-1}\right)^2-2.\left(\dfrac{3}{m-1}\right)=12\\ \Leftrightarrow\dfrac{1}{\left(m-1\right)^2}-\dfrac{6}{m-1}=12\\ \Leftrightarrow1-6\left(m-1\right)=12\left(m-1\right)^2\\ \Leftrightarrow1-6m+6=12\left(m^2-2m+1\right)\\ \Leftrightarrow7-6m-12m^2+24m-12=0\\ \Leftrightarrow-12m^2+18m-5=0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{9-\sqrt{21}}{12}\\m=\dfrac{9+\sqrt{21}}{12}\end{matrix}\right.\Rightarrow m=\dfrac{9+\sqrt{21}}{12}\)

phương trình có a = 7 khác 0 => là phương trình bậc 2

vậy phương trình có nghiệm <=> \(\Delta'\ge0\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2-7.\left(-m^2\right)\ge0\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2+7m^2\ge0\)(thỏa mãn với mọi m)

b) theo vi et ta có

+) x₁+x₂ = -b/a = 2(m-1)/7

+) x₁.x₂ = c/a = -m²/7

a) Ta có : a = 7 ; b = 2(m-1) ; c = -m²

\(\Rightarrow\Delta'=\left(m-1\right)^2+7m^2\)

Do \(\left(m-1\right)^2\ge0\)mọi m và \(m^2\ge0\)mọi m

\(\Rightarrow\Delta'\ge0\)với mọi giá trị của m

Do đó PT có nghiệm với mọi giá trị của m

b) Gọi 2 nghiệm của PT là x₁ ; x₂

Theo định lí Vi-ét , ta có : \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=\frac{-2\left(m-1\right)}{7}\\x_1.x_2=\frac{-m^2}{7}\end{cases}}\)

Khi đó : \(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2.x_1.x_2\)

\(=\left[\frac{-2\left(m-1\right)}{7}\right]^2-2.\frac{-m^2}{7}\)

\(=\frac{4\left(m-1\right)^2}{49}+\frac{2m^2}{7}\)

\(=\frac{4m^2-8m+4+14m^2}{49}\)

\(=\frac{18m^2-8m+4}{49}\)