Đáp án A

Do SO vuông góc với (ABCD) nên hình chiếu của SA trên mặt phẳng (ABCD) là AO, do đó góc giữa SA và (ABCD) chính là góc giữa SA và AO, hay S A O ^ = 45 0 . Do ABCD là hình vuông cạnh 2a nên: A O = 1 2 A C = 1 2 .2 a 2 = 2 a  

Do Δ S A O  vuông tại O nên tan S A O ^ = S O A O  

Độ dài đoạn thẳng SO là: S O = A O tan S A O ^ = a 2 tan 45 0 = 2 a

Đáp án C

Đáp án D.

Phương pháp: Tính góc giữa mặt phẳng (SAB) và (ABCD).

Cách giải:  Dễ thấy 2 hình chóp S.ABCD và S’.ABCD là các hình chóp tứ giác đều.

Gọi E là trung điểm của AB ta có:

=> ((SAB);(ABCD)) = (SE;OE) = SEO = α

Ta có: 

Đáp án A

Gọi φ  là góc giữa SC và (SAD), N là giao điểm của HM và AD, K là hình chiếu vuông góc của H trên SN, I là giao điểm của HC với AD. Gọi E là điểm đối xứng với I qua K.

Ta có  M B = 1 4 B C = a 2 , H B = a , H B M ^ = B A D ^ = 60 °

⇒ H M = H B 2 + M B 2 − 2 H B . M B . c o s H B M ^

⇒ H M = a 2 + a 2 4 − 2 a . a 2 . cos 60 ° = 3 2 a

⇒ H M 2 + M B 2 = 3 2 a 2 + a 2 2 = a 2 = H B 2

  ⇒ Δ H M B vuông tại M

  ⇒ H M ⊥ M B hay M N ⊥ B C .

Vì  S H ⊥ A D do  S H ⊥ A B C D M N ⊥ A D do  M N ⊥ B C ⇒ A D ⊥ S M N ⇒ A D ⊥ H K , mà H K ⊥ S N  nên H K ⊥ S A D . Lại có HK là đường trung bình của Δ I C E  nên H K // C E . Suy ra C E ⊥ S A D  tại E và SE là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (SAD).

Vậy φ = S C , S A D ^ = S C , S E ^ = C S E ^ .

Đặt  S H = x , x > 0   . Do Δ S H N  vuông tại H có HK là đường cao nên ta có

1 H K 2 = 1 S H 2 + 1 H N 2 ⇒ H K = S H . H N S H 2 + H N 2 = 3 a x 4 x 2 + 3 a 2 ⇒ C E = 2 H K = 2 3 a x 4 x 2 + 3 a 2

Do Δ S H C  vuông tại H nên

S C = S H 2 + H C 2 = S H 2 + H M 2 + M C 2 = x 2 + 3 2 a 2 + 5 a 2 2 = x 2 + 7 a 2

  Δ S E C vuông tại E nên  sin φ = sin C S E ^ = E C S C = 2 3 a x 4 x 2 + 3 a 2 x 2 + 7 a 2

⇒ sin φ = 2 3 a x 4 x 4 + 21 a 4 + 31 a 2 x 2 ≤ 2 3 a x 4 21 a 2 x 2 + 31 a 2 x 2 = 2 3 4 21 + 31

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 4 x 4 = 21 a 4 ⇔ x 4 = 21 4 a 4 ⇔ x = 21 4 4 a .

Vậy góc φ  đạt lớn nhất khi   sin φ đạt lớn nhất, khi đó  S H = 21 4 4 a

Chọn C