Ta có R là bán kính đường tròn ngoại tiếp một tam giác đều cạnh a thì \(R=\frac{a\sqrt{3}}{a}\) (*)

Dựng 2 tam giác đều BDF và CDG về phía ngoài tam giác ABC, khi đó \(\widehat{BFD}=\widehat{BED}=60^0;\widehat{CGD}=\widehat{CED}=60^o\)

=> BDEF và CDEG là các tứ giác nội tiếp 

Nên R₁;R₂ lần lượt là bán kính của các đường tròn ngoại tiếp các tam giác đềuy BDF và CDG

Theo (*) ta có: \(R_1=\frac{BD\sqrt{3}}{3};R_2=\frac{CD\sqrt{3}}{3}\Rightarrow R_1R_2=\frac{BD\cdot CD}{3}\)

Mặt khác \(\left(BD+CD\right)^2\ge4\cdot BD\cdot CD\)

=> BD.CD\(\le\frac{\left(BD+CD\right)^2}{4}=\frac{BC^2}{4}=\frac{3R^2}{4}\Rightarrow R_1R_2\le\frac{R^2}{4}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

BD=CD, nghĩa là R₁;R₂ đạt giá trị lớn nhất bằng \(\frac{R^2}{4}\) khi D là trung điểm BC

1: góc ACB=góc ADB=1/2*sđ cung AB=90 độ

=>AC vuông góc CB và AD vuông góc DB

=>góc ECM=90 độ=góc EDM

=>CEDM nội tiếp

AC vuông góc CB

AD vuông góc DB

=>AD,BC là 2 đường cao của ΔAEB

=>M là trực tâm

=>AM vuông góc AB

ΔMDB vuông tại D nên ΔMDB nội tiếp đường tròn đường kính MB

=>BM là đường kính của (I)

=>góc MNB=90 độ

=>MN vuông góc AB

=>E,M,N thẳng hàng

b: AM vuông góc AB

=>góc ANM=90 độ

góc ANM+góc ACM=180 độ

=>ACMN nội tiếp

=>góc CAM=góc CNM=góc ADF

=>góc CAM=góc ADF

=>DF//AB

a, Xét tam giác vuông EBC vuông tại E và  CI = IB

 ⇒ IE = IC = IB ⁽¹⁾ ( vì trong tam giác vuông trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng \(\dfrac{1}{2}\) cạnh huyền)

Xét tam giác vuông BCF vuông tại F và IC =IB 

 ⇒IF = IC = IB ⁽²⁾ (vì trong tam giác vuông trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng \(\dfrac{1}{2}\) cạnh huyền) 

Từ (1) và (2) ta có: 

IE = IF = IB = IC 

Vậy bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn tâm I bán kính bằng \(\dfrac{1}{2}\) BC (đpcm)

b, Xét \(\Delta\)AFC và \(\Delta\)AEB có:

\(\widehat{CAF}\)  chung ; \(\widehat{AFC}\) = \(\widehat{AEB}\) = 90⁰ 

⇒ \(\Delta\)AFC  \(\sim\) \(\Delta\)AEB   (g-g)

⇒ \(\dfrac{AF}{AE}\) = \(\dfrac{AC}{AB}\) (theo định nghĩa hai tam giác đồng dạng)

⇒AB.AF = AC.AE (đpcm)

Xét tam giác vuông AEH vuông tại E và KA = KH 

⇒ KE = KH ( vì trong tam giác vuông trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng \(\dfrac{1}{2}\) cạnh huyền)

⇒\(\Delta\)EKH cân tại K ⇒ \(\widehat{KEH}\) = \(\widehat{EHK}\) 

\(\widehat{EHK}\) = \(\widehat{DHB}\) (vì hai góc đối đỉnh)

 ⇒ \(\widehat{KEH}\) = \(\widehat{DHB}\) ( tc bắc cầu) (3)

Theo (1) ta có: IE = IB ⇒ \(\Delta\) IEB cân tại I 

⇒ \(\widehat{IEB}\) = \(\widehat{IBE}\)  (4)

Cộng vế với vế của (3) và(4)

Ta có: \(\widehat{KEI}\) = \(\widehat{KEH}\) + \(\widehat{IEB}\) =  \(\widehat{DHB}\) + \(\widehat{IBE}\)  = \(\widehat{DHB}\) + \(\widehat{DBH}\)

        Vì tam giác DHB vuông tại D nên \(\widehat{DHB}\) + \(\widehat{DBH}\)  = 180⁰ - 90⁰ = 90⁰

 ⇒\(\widehat{KEI}\)  = 90⁰

         IE \(\perp\) KE (đpcm)

a) Bổ đề: Xét tam giác ABC cân tại A, một điểm M bất kì sao cho ^AMB = ^AMC. Khi đó MB = MC.

Bổ đề chứng minh rất đơn giản, không trình bày ở đây.

Áp dụng vào bài toán: Vì E là điểm chính giữa (BC nên EB = EC = ED => \(\Delta\)BED cân tại E

Ta có ^BAE = ^CAE (2 góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) hay ^BAE = ^DAE

Áp dụng bổ đề vào \(\Delta\)BED ta được AB = AD. Khi đó AE là trung trực của BD => AE vuông góc BD

Lại có \(\Delta\)BAD ~ \(\Delta\)CFD (g.g). Mà AB = AD nên FD =FC. Từ đó EF vuông góc DC

Xét \(\Delta\)AEF có FD vuông góc AE (cmt), AD vuông góc EF (cmt) => D là trực tâm \(\Delta\)AEF (đpcm).

b) Gọi DN cắt EC tại I. Ta dễ thấy ^MDI = ^MDN = ^MBN = ^MBC = ^MEC = ^MEI

Suy ra bốn điểm D,E,M,I cùng thuộc một đường tròn => ^EMD = ^EID = 90⁰

Nếu ta gọi MD cắt cung lớn BC của (O) tại S thì ^EMS chắn nửa (O) hay ES là đường kính của (O)

Mà E là điểm chính giữa cung nhỏ BC nên S là điểm chính giữa cung lớn BC

Do đó S là điểm cố định (Vì B,C cố định). Vậy MD luôn đi qua S cố định (đpcm).

a: góc CDM=góc CEM=90 độ

=>CDEM nội tiếp

b: Xet ΔMEA vuông tại E và ΔMDB vuông tại D có

góc EMA chung

=>ΔMEA đồng dạng với ΔMDB

=>ME/MD=MA/MB

=>ME*MB=MA*MD

a. góc CDM=góc CEM=90 độ

=>CDEM nội tiếp

b. Xet ΔMEA vuông tại E và ΔMDB vuông tại D có

góc EMA chung

=>ΔMEA đồng dạng với ΔMDB

=>ME/MD=MA/MB

=>ME*MB=MA*MD

a: A,E,D,B cùng thuộc (O)

=>AEDB nội tiếp

A,E,C,B cùng thuộc (O)

=>AECB nội tiếp

B,E,C,D cùng thuộc (O)

=>BECD nội tiếp

góc AHB=góc AKB=90 độ

=>AKHB nội tiếp

b: Đề sai rồi bạn