Ta có:

2015²⁰¹⁷ + 2017²⁰¹⁵

= 2015²⁰¹⁷ + 1 + 2017²⁰¹⁵ - 1

= (2015²⁰¹⁷ + 1²⁰¹⁷) + (2017²⁰¹⁵ - 1²⁰¹⁵)

Do 2015²⁰¹⁷ + 1²⁰¹⁷ luôn chia hết cho 2015 + 1 = 2016; 2017²⁰¹⁵ - 1²⁰¹⁵ luôn chia hết cho 2017 - 1 = 2016

=> (2015²⁰¹⁷ + 1²⁰¹⁷) + (2017²⁰¹⁵ - 1²⁰¹⁵) chia hết cho 2016

=> 2015²⁰¹⁷ + 2017²⁰¹⁵ chia hết cho 2016 (đpcm)

TAU KHONG BIET

To kHong biet cau nay nhung mong cau thi tot

Đặt A = 4 + 2² + 2³ + 2⁴ + .... + 2²⁰¹⁵ + 2²⁰¹⁶

=> 2A = 8 + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + ... + 2²⁰¹⁶ + 2²⁰¹⁷

=> 2A - A = (8 + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + ... + 2²⁰¹⁶ + 2²⁰¹⁷) - (4 + 2² + 2³ + 2⁴ + .... + 2²⁰¹⁵ + 2²⁰¹⁶)

=>        A = 8 + 2²⁰¹⁷ - 4 - 2² = 2²⁰¹⁷ 

Vì A = 2²⁰¹⁷

=> A \(⋮\)2²⁰¹⁷

a )  

Ta có : 

\(5^{2017}+5^{2016}+5^{2015}\)

\(=5^{2015}\left(5^2+5+1\right)\)

\(=5^{2015}.31⋮31\left(đpcm\right)\)

b ) 

Số lượng số dãy số trên là : 

\(\left(101-0\right):1+1=102\)( số )

Do \(102⋮2\)nên ta nhóm 2 số liền nhau thành 1 nhóm như sau : 

\(\left(1+7\right)+\left(7^2+7^3\right)+...+\left(7^{100}+7^{101}\right)\)

\(=8+7^2\left(1+7\right)+...+7^{100}\left(1+7\right)\)

\(=8+7^2.8+...+7^{100}.8\)

\(=8\left(1+7^2+...+7^{100}\right)⋮8\left(đpcm\right)\)

5²⁰¹⁷ + 5²⁰¹⁶ + 5²⁰¹⁵ = 5²⁰¹⁵ x ( 5² + 5 + 1) = 5²⁰¹⁵ x (25 + 6) = 5²⁰¹⁵ x 31

Vậy 5²⁰¹⁷ + 5²⁰¹⁶ + 5²⁰¹⁵ chia hết cho 31.

Ta có:  \(5^3\equiv1\left(mod31\right)\)

=> \(\left(5^3\right)^{671}\equiv1\left(mod31\right)\)

=> \(\begin{cases}\left(5^3\right)^{671}\cdot5^2\equiv25\left(mod31\right)\equiv25\left(mod31\right)\\\left(5^3\right)^{671}\cdot5^3\equiv5^3\left(mod31\right)\equiv1\left(mod31\right)\\\left(5^3\right)^{671}\cdot5^3\cdot5\equiv5^4\left(mod31\right)\equiv5\left(mod31\right)\end{cases}\)

=> \(\begin{cases}5^{2015}\equiv25\left(mod31\right)\\5^{2016}\equiv1\left(mod31\right)\\5^{2017}\equiv5\left(mod31\right)\end{cases}\)

=> \(5^{2015}+5^{2016}+5^{2017}\equiv25+5+1\left(mod31\right)\equiv0\left(mod31\right)\)

Vậy \(5^{2015}+5^{2016}+5^{2017}⋮31\left(đpcm\right)\)

5²⁰¹⁷+5²⁰¹⁶+5²⁰¹⁵

5^2015.(5^2+5+1)

5^2015.31 chia hết cho 31 

=> Tổng trên chia hết cho 31