\(x=\dfrac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}=\dfrac{3+2\sqrt{2}}{2-1}=3+2\sqrt{2}\)

Gọi \(x_1\) là nghiệm còn lại của pt đã cho

Theo Vi-ét, ta có

\(\left\{{}\begin{matrix}3+2\sqrt{2}+x_1=-\dfrac{b}{a}\\x_1\left(3+2\sqrt{2}\right)=\dfrac{1}{a}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3+2\sqrt{2}+x_1=-\dfrac{b}{a}\\x_1=\dfrac{1}{a\left(3+2\sqrt{2}\right)}=\dfrac{3-2\sqrt{2}}{a}\end{matrix}\right.\)

Thế pt dưới lên pt trên, ta được:

\(3+2\sqrt{2}+\dfrac{3-2\sqrt{2}}{a}=-\dfrac{b}{a}\\ \Leftrightarrow a\left(3+2\sqrt{2}\right)-3-2\sqrt{2}=-b-6\\ \Leftrightarrow\left(3+2\sqrt{2}\right)\left(a-1\right)=-b-6\)

Vì a,b hữu tỉ nên \(a-1;-b-6\) hữu tỉ

Mà \(3+2\sqrt{2}\) vô tỉ nên \(a-1=0\Leftrightarrow a=1\)

\(\Leftrightarrow-b-6=0\Leftrightarrow b=-6\)

Vậy \(\left(a;b\right)=\left(1;-6\right)\)

Ta có: \(x=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=4-\sqrt{15}\)

Vì \(x=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\)là nghiệm của phương trình \(ax^2+bx+1=0\)nên:

\(a\left(4-\sqrt{15}\right)^2+b\left(4-\sqrt{15}\right)+1=0\)

\(\Leftrightarrow a\left(31-8\sqrt{15}\right)+4b-\sqrt{15}b+1=0\)

\(\Leftrightarrow31a-8\sqrt{15}a+4b-\sqrt{15}b+1=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{15}\left(8a+b\right)=31a+4b+1\)

Do a b, là các số hữu tỉ nên \(31a+4b+1\)và \(8a+b\) là các số hữu tỉ

\(\Rightarrow\sqrt{15}\left(8a+b\right)\)là số hữu tỉ

Do đó \(\hept{\begin{cases}8a+b=0\\31a+4b+1=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=-8\end{cases}}\)

Vậy a = 1; b = -8

Ta có f(x)=0 <=> \(\left(x-1\right)\left(x+2\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\x+2=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-2\end{matrix}\right.\)

Vì nghiệm của đa thức f(x) cũng là nghiệm của đa thức g(x) nên 1 và -2 là nghiệm của đa thức g(x)

+Thay x=1, ta có: \(g\left(1\right)=1^3+a.1^2+b.1+2=0\Leftrightarrow1+a+b+2=0\Leftrightarrow a+b=-3\left(1\right)\)

+Thay x=-2, ta có: 

\(g\left(-2\right)=\left(-2\right)^3+a.2^2+b.\left(-2\right)+2=0\Leftrightarrow-8+4a-2b+2=0\Leftrightarrow4a-2b=6\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ pt: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=-3\\4a-2b=6\end{matrix}\right.\) 

Giải hệ pt, ta được: a=0, b=-3.

Ta có : f(x) = 0 

⇔ ( x-1)(x+2) = 0 

⇔ \(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-2\end{matrix}\right.\)

Vì nghiệm của đa thức f(x) cũng là nghiệm của đa thức g(x) nên x =1 hoặc x = -2 là nghiệm của g(x) 

Thay x = 1 vào g(x) = 0 

⇔ 1³ + a.1² + b.1 + 2 = 0 

⇔ 1 + a + b + 2 = 0 

⇔ a + b = -3 (1) 

Thay x = -2 vào g(x) = 0 

⇔ (-2)³ + a.(-2)² + b.(-2) + 2 = 0 

⇔ -8 + a.4 - 2.b + 2 = 0 

⇔ 4a - 2b = 6 

⇔ 2.(2a - b ) = 6 

⇔ 2a - b = 3 (2) 

Từ (1) và (2) ⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=-3\\2a-b=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a=0\\b=-3-a\end{matrix}\right.\Leftrightarrow}\left\{{}\begin{matrix}a=0\\b=-3\end{matrix}\right.\)

 Để f (x) có nghiệm thì : f (x) = 0

=> 

\(\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\x+2=0\end{matrix}\right.\)=>\(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=2\end{matrix}\right.\)

Vậy x = 1 và x = là nghiệm của đa thức f (x)

Do nghiệm của f (x) cũng là nghiệm của g (x) nên x = 1 và x =  là nghiệm của g (x)

⇒g(1)=1³+a⋅1²+b⋅1+2=0

⇒1+a+b+2=0

⇒3+a+b=0

⇒b=−3−a (1)

@) 

g(−2)=(−2)³+a⋅(−2)²+b⋅(−2)+2=0

⇒−8+4a−2b+2=0

⇒2⋅(−4)+2a+2a−2b+2=0

⇒2⋅(−4+a+a−b+1)=0

⇒(−3+2a−b)=0

=> 2a  b = 3 

thay (1) vao (2) ta dc

2a−(−3−a)=3

⇒a=0

Do